Resolva y^prime prime+4 y^prime+4 y=0 para y(0)=1, y^prime(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 4y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-2. O conteúdo aqui é o método da equação característica.

Passo 2

Associamos à equação característica de raízes r a equação
r^2 + 4r + 4 = 0
Para resolver, notamos que é um quadrado perfeito:
r^2 + 4r + 4 = (r + 2)^2 = 0
logo a raiz é dupla: r = -2 (multiplicidade 2).

Passo 3

Quando a raiz r0 é dupla, a solução geral da EDO é
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^r0 x
Substituindo r0 = -2 temos
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^-2x

Passo 4

Para determinar C1 e C2 usamos as condições iniciais. Primeiro, calculemos y'(x).
Derivando
y'(x) = ddxl[(C1 + C2 x)e^-2xr] = C2 e^-2x -2(C1 + C2 x)e^-2x = l(-2C1 + C2 -2C2 xr)e^-2x

Passo 5

Agora aplicamos x=0:
  1. De y(0)=1 vem
y(0) = (C1 + C2cdot 0)e^0 = C1 = 1
  1. De y'(0)=-2 vem
y'(0) = l(-2C1 + C2 -2C2cdot 0r)e^0 = -2C1 + C2 = -2cdot 1 + C2 = -2,
logo C2 = 0.

Resposta

Substituindo C1=1 e C2=0 na solução geral, obtemos
boxedy(x) = e^-2x

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