Resolva
para
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
. O conteúdo aqui é o método da equação característica.
Passo 2
Associamos à equação característica de raízes
a equação
Para resolver, notamos que é um quadrado perfeito:
logo a raiz é dupla:
(multiplicidade 2).
Passo 3
Quando a raiz
é dupla, a solução geral da EDO é
Substituindo
temos
Passo 4
Para determinar
e
usamos as condições iniciais. Primeiro, calculemos
.
Derivando
Derivando
Passo 5
Agora aplicamos
:
- De
vem
- De
vem
logo
.
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, obtemos