Resolva
y(t)=1-\operatorname{sinh} t+\int_{0}^{t}(1+\tau) y(t-\tau) d \tau.

Passo 1

O enunciado dá a equação integral
y(t)=1-\operatorname{sinh} t+\int_{0}^{t}(1+\tau)\,y(t-\tau)\,d\tau
e pede para encontrar a função y(t) que satisfaz essa igualdade para t\ge 0.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a função desconhecida é y(t), há um termo não homogêneo 1-\operatorname{sinh} t e um termo integral de convolução com kernel k(\tau)=1+\tau. A integral é tomada de 0 a t.

Passo 2

Escolhemos resolver a equação usando a transformada de Laplace porque a integral dada é uma convolução do tipo \int_{0}^{t}k(\tau)y(t-\tau)\,d\tau, e a transformada de Laplace transforma convolução em produto de transformadas, simplificando muito a resolução. Vou explicar rapidamente o que é a transformada de Laplace e a propriedade que vamos usar.
Definição (rápida): a transformada de Laplace de uma função f(t) é a função F(s) dada por
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (a gente usa s real e grande o suficiente para convergência). Propriedade crucial: se g(t)=(f*k)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)k(t-\tau)\,d\tau então
\mathcal{L}\{g(t)\}=\mathcal{L}\{f\}(s)\cdot\mathcal{L}\{k\}(s).
Usaremos essa propriedade para transformar a equação integral em uma equação algébrica em s.

Passo 3

Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Denotemos Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Para cada termo usamos transformadas conhecidas:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}, \qquad \mathcal{L}\{\operatorname{sinh} t\}=\frac{1}{s^{2}-1},
e, pela propriedade da convolução,
\mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t}(1+\tau)\,y(t-\tau)\,d\tau\right\}=\mathcal{L}\{1+\tau\}(s)\cdot Y(s).
Logo, aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} à equação original obtemos
Y(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}-1}+\mathcal{L}\{1+\tau\}(s)\,Y(s).

Passo 4

Calcule a transformada de Laplace do kernel k(\tau)=1+\tau. Usamos \mathcal{L}\{1\}=1/s e \mathcal{L}\{\tau\}=1/s^{2}. Assim
\mathcal{L}\{1+\tau\}(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}=\frac{s+1}{s^{2}}.

Passo 5

Substituímos \mathcal{L}\{1+\tau\} na equação de Y(s) e isolamos Y(s):
Y(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}-1}+\frac{s+1}{s^{2}}\,Y(s).
Reagrupando os termos com Y(s),
Y(s)\left(1-\frac{s+1}{s^{2}}\right)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}-1}.
Calculemos o fator à esquerda:
1-\frac{s+1}{s^{2}}=\frac{s^{2}-(s+1)}{s^{2}}=\frac{s^{2}-s-1}{s^{2}}.
Logo
Y(s)\cdot\frac{s^{2}-s-1}{s^{2}}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}-1}.

Passo 6

Isolamos Y(s) multiplicando ambos os lados por s^{2}/(s^{2}-s-1):
Y(s)=\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}-1}\right)\frac{s^{2}}{s^{2}-s-1}.
Agora simplificamos a expressão entre parênteses combinando as frações:
\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}-1}=\frac{s^{2}-1-s}{s(s^{2}-1)}=\frac{s^{2}-s-1}{s(s^{2}-1)}.
Substituindo de volta,
Y(s)=\frac{s^{2}-s-1}{s(s^{2}-1)}\cdot\frac{s^{2}}{s^{2}-s-1}.
Observa que o fator (s^{2}-s-1) cancela entre numerador e denominador, ficando
Y(s)=\frac{s^{2}}{s(s^{2}-1)}=\frac{s}{s^{2}-1}.

Passo 7

Reconhecemos que a transformada de Laplace de \operatorname{cosh} t é
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh} t\}=\frac{s}{s^{2}-1}.
(Verificação rápida: \operatorname{cosh} t=(e^{t}+e^{-t})/2, então \mathcal{L}\{\operatorname{cosh} t\}=\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{s-1}+\tfrac{1}{s+1}\right)=\tfrac{s}{s^{2}-1}.) Como Y(s)=\dfrac{s}{s^{2}-1}, concluímos que a transformada inversa é
y(t)=\operatorname{cosh} t.

Passo 8

Convém fazer uma checagem mental: substituindo y(t)=\operatorname{cosh} t na equação original, a transformada de Laplace já mostra que as duas mãos são iguais (visto que passamos por uma transformação invertível e obtivemos identificação única da transformada), então a solução está correta. Força: você resolveu uma integral-convolução complicada transformando-a numa conta algébrica elegante!

Resposta

y(t)=\operatorname{cosh} t

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