Resolva
.
Passo 1
O enunciado dá a equação integral
e pede para encontrar a função
que satisfaz essa igualdade para
.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a função desconhecida é , há um termo não homogêneo
e um termo integral de convolução com kernel
. A integral é tomada de
a
.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a função desconhecida é
Passo 2
Escolhemos resolver a equação usando a transformada de Laplace porque a integral dada é uma convolução do tipo
, e a transformada de Laplace transforma convolução em produto de transformadas, simplificando muito a resolução. Vou explicar rapidamente o que é a transformada de Laplace e a propriedade que vamos usar.
Definição (rápida): a transformada de Laplace de uma função
é a função
dada por
onde
é uma variável complexa (a gente usa
real e grande o suficiente para convergência). Propriedade crucial: se
então
Usaremos essa propriedade para transformar a equação integral em uma equação algébrica em
.
Passo 3
Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Denotemos
. Para cada termo usamos transformadas conhecidas:
e, pela propriedade da convolução,
Logo, aplicando
à equação original obtemos
Passo 4
Calcule a transformada de Laplace do kernel
. Usamos
e
. Assim
Passo 5
Substituímos
na equação de
e isolamos
:
Reagrupando os termos com
,
Calculemos o fator à esquerda:
Logo
Passo 6
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Agora simplificamos a expressão entre parênteses combinando as frações:
Substituindo de volta,
Observa que o fator
cancela entre numerador e denominador, ficando
Passo 7
Reconhecemos que a transformada de Laplace de
é
(Verificação rápida:
, então
.) Como
, concluímos que a transformada inversa é
Passo 8
Convém fazer uma checagem mental: substituindo
na equação original, a transformada de Laplace já mostra que as duas mãos são iguais (visto que passamos por uma transformação invertível e obtivemos identificação única da transformada), então a solução está correta. Força: você resolveu uma integral-convolução complicada transformando-a numa conta algébrica elegante!