Resolva
y(t)=t e^{t}-2 e^{t} \int_{0}^{t} e^{-\tau} y(\tau) d \tau;

Passo 1

O enunciado nos dá a função desconhecida y(t) satisfazendo a equação integral
y(t)=t e^{t}-2 e^{t} \int_{0}^{t} e^{-\tau} y(\tau)\,d\tau.
O que o problema pede é encontrar explicitamente a função y(t). Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{dado: }y(t)=t e^{t}-2 e^{t}\int_{0}^{t} e^{-\tau} y(\tau)\,d\tau.
Não há outras condições explícitas além da própria equação, mas podemos obter a condição inicial em t=0 avaliando a fórmula no ponto 0.

Passo 2

Para lidar com essa equação integral tipo Volterra, uma ideia padrão é transformar a equação integral em uma equação diferencial, diferenciando ambos os lados. Para organizar a diferenciação, defino a função auxiliar
z(t)=\int_{0}^{t} e^{-\tau} y(\tau)\,d\tau.
Com essa definição a equação original fica mais simples:
y(t)=t e^{t}-2 e^{t} z(t).

Passo 3

Vou diferenciar a expressão obtida em t. Primeiro observo a derivada de z pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
z'(t)=e^{-t} y(t).
Agora diferencio y(t)=t e^{t}-2 e^{t} z(t). Uso a regra do produto duas vezes: para t e^{t} e para e^{t} z(t). Calculando passo a passo,
\frac{d}{dt}\big(t e^{t}\big)=e^{t}+t e^{t},
e
\frac{d}{dt}\big(e^{t} z(t)\big)=e^{t} z(t)+e^{t} z'(t).
Portanto,
y'(t)=\big(e^{t}+t e^{t}\big)-2\big(e^{t} z(t)+e^{t} z'(t)\big).

Passo 4

Agora substituo z'(t)=e^{-t} y(t) na expressão anterior:
y'(t)=e^{t}+t e^{t}-2 e^{t} z(t)-2 e^{t} e^{-t} y(t).
Simplificando e^{t} e^{-t}=1, obtemos
y'(t)=e^{t}+t e^{t}-2 e^{t} z(t)-2 y(t).
Mas pela fórmula do Passo 2 temos y(t)=t e^{t}-2 e^{t} z(t). Substituindo t e^{t}-2 e^{t} z(t) por y(t) na expressão acima:
y'(t)=e^{t}+y(t)-2 y(t).
Assim
y'(t)+y(t)=e^{t}.
Portanto a equação integral original se reduziu a uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:
y'(t)+y(t)=e^{t}.

Passo 5

Antes de resolver a ODE, obtenho a condição inicial avaliando a equação original em t=0:
y(0)=0\cdot e^{0}-2 e^{0}\int_{0}^{0} e^{-\tau} y(\tau)\,d\tau=0.
Logo a condição inicial é y(0)=0.
Agora resolvo a ODE linear de primeira ordem com condição inicial:
y'(t)+y(t)=e^{t},\qquad y(0)=0.
A técnica é o fator integrante. O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int 1\,dt}=e^{t}.
Multiplicando a ODE por \mu(t) obtemos
e^{t} y'(t)+e^{t} y(t)=(e^{t} y(t))'=e^{t}\cdot e^{t}=e^{2t}.
Integro ambos os lados em t:
e^{t} y(t)=\int e^{2t}\,dt=\frac{1}{2}e^{2t}+C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolo y(t):
y(t)=\frac{1}{2}e^{t}+C e^{-t}.
Imponho a condição inicial y(0)=0:
0=\frac{1}{2}\cdot 1 + C\cdot 1 \implies C=-\frac{1}{2}.
Portanto
y(t)=\frac{1}{2}e^{t}-\frac{1}{2}e^{-t}=\frac{1}{2}\big(e^{t}-e^{-t}\big).

Passo 7

Interpretação e verificação rápida: a expressão encontrada é a função hiperbólica seno, isto é
y(t)=\operatorname{sinh}(t).
Posso verificar substituindo de volta na integral: calcular z(t)=\int_0^t e^{-\tau}\operatorname{sinh}(\tau)\,d\tau e checar que t e^{t}-2 e^{t} z(t)=\operatorname{sinh}(t). Esse cálculo confirma a solução (os passos de integração são diretos e confirmam a igualdade), então a solução é consistente com a equação original e com a condição inicial.

Resposta

\operatorname{sinh}(t)

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