Resolva
;
Passo 1
O enunciado nos dá a função desconhecida
satisfazendo a equação integral
O que o problema pede é encontrar explicitamente a função
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
Não há outras condições explícitas além da própria equação, mas podemos obter a condição inicial em
avaliando a fórmula no ponto
.
Passo 2
Para lidar com essa equação integral tipo Volterra, uma ideia padrão é transformar a equação integral em uma equação diferencial, diferenciando ambos os lados. Para organizar a diferenciação, defino a função auxiliar
Com essa definição a equação original fica mais simples:
Passo 3
Vou diferenciar a expressão obtida em
. Primeiro observo a derivada de
pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Agora diferencio
. Uso a regra do produto duas vezes: para
e para
. Calculando passo a passo,
e
Portanto,
Passo 4
Agora substituo
na expressão anterior:
Simplificando
, obtemos
Mas pela fórmula do Passo 2 temos
. Substituindo
por
na expressão acima:
Assim
Portanto a equação integral original se reduziu a uma equação diferencial ordinária de primeira ordem:
Passo 5
Antes de resolver a ODE, obtenho a condição inicial avaliando a equação original em
:
Logo a condição inicial é
.
Agora resolvo a ODE linear de primeira ordem com condição inicial:
A técnica é o fator integrante. O fator integrante é
Multiplicando a ODE por
obtemos
Integro ambos os lados em
:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Isolo
:
Imponho a condição inicial
:
Portanto
Passo 7
Interpretação e verificação rápida: a expressão encontrada é a função hiperbólica seno, isto é
Posso verificar substituindo de volta na integral: calcular
e checar que
. Esse cálculo confirma a solução (os passos de integração são diretos e confirmam a igualdade), então a solução é consistente com a equação original e com a condição inicial.