Resolva
;
Passo 1
O enunciado dá a equação integral
e pede que encontremos a função
que satisfaça essa igualdade para todo
(presumimos
em um intervalo em que a integral faz sentido, por exemplo
). Informações relevantes: a função aparece dentro de uma integral com limite superior variável
e há um termo constante
. Não há outras condições explícitas no enunciado além dessa igualdade.
Passo 2
Vamos justificar por que podemos diferenciar ambos os lados em relação a
. A expressão do lado direito é
mais uma função do tipo “integral com limite superior variável”
Resultados básicos de análise dizem: se
for integrável (ou contínua) em um intervalo contendo
, então
é contínua; se além disso
for contínua, então
é diferenciável e
(Teorema Fundamental do Cálculo). Como a equação nos dá
, o lado direito é contínuo, logo
também é contínua; assim podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e diferenciar. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos:
A derivada de
é
e a derivada da integral é
, portanto
Passo 3
Extrair a condição inicial da equação original. Colocando
na equação dada,
logo
Portanto temos o problema de valor inicial para a equação diferencial ordinária obtida no passo anterior:
Passo 4
Resolver a equação diferencial
. Esse é o caso clássico em que a taxa de variação da função é igual ao próprio valor da função — a solução geral é uma exponencial. Faço separação de variáveis para justificar passo a passo:
Começo com
Se
em algum intervalo, escrevo
Integro os dois lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando,
Isso dá a forma geral
onde
é uma constante real (absorbemos o sinal em
). Agora aplico a condição inicial
:
Portanto a solução específica é
Passo 5
Verificação direta: substituo
na equação integral original para confirmar que funciona. Calculo a integral:
Então o lado direito da equação original fica
que é exatamente
. Logo a solução encontrada satisfaz a equação.
Passo 6
(Comentário didático e alternativa) Outra maneira de ver — útil para fixar a ideia — é iterar a equação (método das sucessivas aproximações): defina
e depois
Calculando os primeiros termos,
,
, etc. Isso gera a série de potências
o que coincide com a solução que achamos pela diferenciação. Esse procedimento mostra também por que a solução é a exponencial — os coeficientes aparecem como na série de Taylor de
.