Resolva
y(t)=1+\int_{0}^{t} y(\tau) d \tau;

Passo 1

O enunciado dá a equação integral
y(t)=1+\int_{0}^{t} y(\tau)\,d\tau
e pede que encontremos a função y(t) que satisfaça essa igualdade para todo t (presumimos t em um intervalo em que a integral faz sentido, por exemplo t\in\mathbb{R}). Informações relevantes: a função aparece dentro de uma integral com limite superior variável \;t\; e há um termo constante 1. Não há outras condições explícitas no enunciado além dessa igualdade.

Passo 2

Vamos justificar por que podemos diferenciar ambos os lados em relação a t. A expressão do lado direito é 1 mais uma função do tipo “integral com limite superior variável”
F(t)=\int_{0}^{t} y(\tau)\,d\tau.
Resultados básicos de análise dizem: se y for integrável (ou contínua) em um intervalo contendo 0, então F(t) é contínua; se além disso y for contínua, então F é diferenciável e F'(t)=y(t) (Teorema Fundamental do Cálculo). Como a equação nos dá y(t)=1+F(t), o lado direito é contínuo, logo y também é contínua; assim podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e diferenciar. Diferenciando ambos os lados em relação a t obtemos:
\frac{d}{dt}y(t)=\frac{d}{dt}\left(1+\int_{0}^{t} y(\tau)\,d\tau\right).
A derivada de 1 é 0 e a derivada da integral é y(t), portanto
y'(t)=y(t).

Passo 3

Extrair a condição inicial da equação original. Colocando t=0 na equação dada,
y(0)=1+\int_{0}^{0} y(\tau)\,d\tau=1+0,
logo
y(0)=1.
Portanto temos o problema de valor inicial para a equação diferencial ordinária obtida no passo anterior:
y'(t)=y(t),\qquad y(0)=1.

Passo 4

Resolver a equação diferencial y'(t)=y(t). Esse é o caso clássico em que a taxa de variação da função é igual ao próprio valor da função — a solução geral é uma exponencial. Faço separação de variáveis para justificar passo a passo:
Começo com
\frac{dy}{dt}=y(t).
Se y(t)\neq 0 em algum intervalo, escrevo
\frac{1}{y}\,dy = dt.
Integro os dois lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int dt \quad\Rightarrow\quad \ln|y| = t + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
|y| = e^{t+C}=e^{C}e^{t}.
Isso dá a forma geral
y(t)=K e^{t},
onde K é uma constante real (absorbemos o sinal em K). Agora aplico a condição inicial y(0)=1:
y(0)=K e^{0}=K=1.
Portanto a solução específica é
y(t)=e^{t}.

Passo 5

Verificação direta: substituo y(t)=e^{t} na equação integral original para confirmar que funciona. Calculo a integral:
\int_{0}^{t} y(\tau)\,d\tau=\int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau = e^{t}-1.
Então o lado direito da equação original fica
1+\int_{0}^{t} y(\tau)\,d\tau = 1+(e^{t}-1)=e^{t},
que é exatamente y(t). Logo a solução encontrada satisfaz a equação.

Passo 6

(Comentário didático e alternativa) Outra maneira de ver — útil para fixar a ideia — é iterar a equação (método das sucessivas aproximações): defina y_0(t)=1 e depois
y_{n+1}(t)=1+\int_0^t y_n(\tau)\,d\tau.
Calculando os primeiros termos, y_1(t)=1+t, y_2(t)=1+t+\tfrac{t^{2}}{2}, etc. Isso gera a série de potências
y(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}=e^{t},
o que coincide com a solução que achamos pela diferenciação. Esse procedimento mostra também por que a solução é a exponencial — os coeficientes aparecem como na série de Taylor de e^{t}.

Resposta

y(t)=e^{t}

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