Resolvam as Equações não homogêneas, utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
y^prime prime+y=3 sen 2 x+x cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
y'' + y = 3sin(2x) + xcos(2x)
usando o método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo envolve equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois uma particular para cada termo da fonte.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y = 0
A equação característica é
r^2 + 1 = 0 Longrightarrow r = pm i
Logo a solução geral homogênea é
yh = C1cos(x) + C2sin(x)

Passo 3

Para o termo 3sin(2x) na fonte, tentamos
yp1 = asin(2x) + bcos(2x)
Calculando derivadas:
y'p1 = 2acos(2x) - 2bsin(2x), y''p1 = -4asin(2x) - 4bcos(2x)
Substituindo em y''+y:
y''p1+yp1 =(-4asin2x-4bcos2x)+(asin2x+bcos2x) =-3asin2x-3bcos2x
Queremos isso igual a 3sin2x, de modo que
-3a = 3implies a=-1, -3b = 0implies b=0
Portanto
yp1 = -sin(2x)

Passo 4

Para o termo xcos(2x), tentamos
yp2 = (A x + B)cos(2x) + (C x + D)sin(2x)
Depois de calcular y'p2 e y''p2 e reunir y''p2+yp2, obtemos
y''p2+yp2 =l(-3A,x + (4C-3B)r)cos2x +l(-3C,x +(-4A-3D)r)sin2x
Essa expressão deve ser igual a xcos2x, i.e.
-3A=1, 4C-3B=0, -3C=0, -4A-3D=0
Daí
A=-tfrac13, C=0, B=0, D=tfrac49
Logo
yp2 = -tfrac13,xcos(2x) + tfrac49sin(2x)

Passo 5

A solução particular é yp=yp1+yp2, ou seja
yp = -sin(2x);-;tfrac13,xcos(2x);+;tfrac49sin(2x) =-tfrac13,xcos(2x);-;tfrac59sin(2x)
Somando com a homogênea, a solução geral fica
y(x) = C1cos(x) + C2sin(x) ;-;tfrac13,xcos(2x);-;tfrac59sin(2x)

Resposta

y(x) = C1cos(x) + C2sin(x) ;-;13,xcos(2x);-;59sin(2x)

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