Teste a série quanto à convergência ou à divergéncia.
sumi=1^infty 5^i3^i+4^i

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumi=1^infty 5^i3^i+4^i
O conteúdo aqui envolve teste da divergência (termo geral não nulo) e comparação assintótica com séries geométricas.

Passo 2

Para que uma série sum ai possa convergir, é necessário que
limitoinftyai = 0
Aqui
ai = 5^i3^i+4^i
Vamos calcular
limitoinftyai =limitoinfty5^i3^i+4^i =limitoinftyl(tfrac54r)^il(tfrac34r)^i+1
Como tfrac54>1, o numerador l(tfrac54r)^itoinfty e o denominador tende a 1. Logo
limitoinftyai = +inftyneq 0

Resposta

A série diverge, pois seu termo geral não tende a zero.

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