Resolver o P.V.I.s abaixo:
Passo 1
Temos um P.V.I. que consiste em uma EDO de primeira ordem com condição inicial. O enunciado é: x·y dx – (x²+3) dy = 0, com y(1)=–6. O conteúdo principal é separação de variáveis numa EDO de primeira ordem e depois usar a condição inicial para achar a constante.
Passo 2
Reescrevemos a equação diferencial na forma dy/dx. De x·y dx – (x²+3) dy = 0 segue que
portanto
Passo 3
Separamos as variáveis y e x. Passamos todos os termos em y para o lado esquerdo e os termos em x para o lado direito:
Passo 4
Agora integramos ambos os lados:
No lado esquerdo obtemos
Passo 5
Logo, da integração vem
Exponentiando temos
onde definimos
. Assim a solução geral é
(assinamos o sinal em K).
Passo 6
Usamos a condição inicial y(1)=–6 para determinar K. Substituindo x=1 e y=–6:
Portanto a solução particular do P.V.I. é
Passo 7
Resposta
y(x) = -3,\sqrt{x^{2} + 3}