Resolver o P.V.I.s abaixo:
lx y d x-(x^2+3) d y=0 y(1)=-6

Passo 1

Temos um P.V.I. que consiste em uma EDO de primeira ordem com condição inicial. O enunciado é: x·y dx – (x²+3) dy = 0, com y(1)=–6. O conteúdo principal é separação de variáveis numa EDO de primeira ordem e depois usar a condição inicial para achar a constante.

Passo 2

Reescrevemos a equação diferencial na forma dy/dx. De x·y dx – (x²+3) dy = 0 segue que
x,y,dx = (x^2+3),dy
portanto
dydx = x,yx^2+3

Passo 3

Separamos as variáveis y e x. Passamos todos os termos em y para o lado esquerdo e os termos em x para o lado direito:
1y,dy = xx^2+3,dx

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral xx^2+3,dx
No lado esquerdo obtemos ln|y|. No direito usamos a substituição u=x^2+3, de modo que du=2x,dx, resultando em
integral xx^2+3,dx = 12integral 1u,du = 12ln|u| + C = 12ln(x^2+3) + C

Passo 5

Logo, da integração vem
ln|y| = 12ln(x^2+3) + C
Exponentiando temos
|y| = e^C,(x^2+3)^1/2 = Kraizx^2+3,
onde definimos K=e^C. Assim a solução geral é y = Kraizx^2+3 (assinamos o sinal em K).

Passo 6

Usamos a condição inicial y(1)=–6 para determinar K. Substituindo x=1 e y=–6:
6 = Kraiz1^2+3 = Kcdot2 implies K = 3
Portanto a solução particular do P.V.I. é

Passo 7

Resposta

y(x) = -3,\sqrt{x^{2} + 3}

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