Calcule as integrais dadas, colocando-as em coordenadas polares.
integral duplaD e^-x^2-y^2 d A, onde D é a região limitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD e^-x^2-y^2,dA usando coordenadas polares, onde D é a região delimitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 (o semicírculo de raio 2 à direita do eixo y) e pelo próprio eixo y. Vamos precisar da mudança para coordenadas polares, do jacobiano r e de escolher corretamente os limites de r e de theta.

Passo 2

Na mudança para coordenadas polares usamos x = rcostheta, y = rsintheta e dA = r,dr,dtheta. Além disso a função em si fica e^-x^2-y^2 = e^-r^2.

Passo 3

A região D corresponde ao semidisco de raio 2 com x>=0. Em polares isso significa:
0 <= r <= 2, -tfracpi2 <= theta <= tfracpi2

Passo 4

Montamos a integral em polares:
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA = integraltheta=-pi/2^pi/2 integralr=0^2 e^-r^2 ;r,dr,dtheta

Passo 5

Para resolver, primeiro fazemos a integral em r. Note que
integral0^2 r,e^-r^2,dr = -tfrac12 e^-r^2 |0^2 = -tfrac12l(e^-4-1r)=tfrac12l(1-e^-4r)

Passo 6

Agora sobra integrar em theta, que é só um fator constante:
integral-pi/2^pi/2 dtheta = pi

Passo 7

Multiplicando os resultados:
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA = pi cdot tfrac12l(1-e^-4r) = tfracpi2l(1-e^-4r)

Resposta

pi2l(1-e^-4r)

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