Calcule as integrais dadas, colocando-as em coordenadas polares. , onde é a região limitada pelo semicírculo e o eixo .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla usando coordenadas polares, onde é a região delimitada pelo semicírculo (o semicírculo de raio 2 à direita do eixo ) e pelo próprio eixo . Vamos precisar da mudança para coordenadas polares, do jacobiano e de escolher corretamente os limites de e de .
Passo 2
Na mudança para coordenadas polares usamos , e . Além disso a função em si fica .
Passo 3
A região corresponde ao semidisco de raio 2 com . Em polares isso significa:
Passo 4
Montamos a integral em polares:
Passo 5
Para resolver, primeiro fazemos a integral em . Note que
Passo 6
Agora sobra integrar em theta, que é só um fator constante:
integral-pi/2^pi/2 dtheta = pi
Passo 7
Multiplicando os resultados:
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA = pi cdot tfrac12l(1-e^-4r) = tfracpi2l(1-e^-4r)