Seja f:[-15 / 2, infty) backslash-3 definida por
f(x)=x+raiz2 x+15x+3
c) f possui assíntotas verticais?

Passo 1

Relembrando o enunciado: temos a função definida em domf=[-15/2,infty)setminus-3 por
f(x)=x+raiz2x+15x+3. Queremos saber se há assíntotas verticais, o que envolve estudar limites onde o denominador zera.

Passo 2

O único ponto onde o denominador se anula é em x=-3. Esse é o candidato a assíntota vertical, então precisamos analisar o comportamento de f(x) quando xto-3^pm.
Calculamos o numerador em x=-3:
-3+raiz2(-3)+15=-3+raiz9=0.
Portanto, em x=-3 a expressão fica na forma indeterminada 0/0, indicando possível descontinuidade removível.

Passo 3

Para avaliar o limite, fazemos x=-3+t com tto0. Então
raiz2x+15=raiz9+2t=3raiz1+tfrac2t9approx3l(1+tfract9r)=3+tfract3
O numerador fica
(-3+t)+(3+tfract3)=tfrac43t+o(t)
e o denominador é t. Logo
limxto-3f(x)=limtto0tfrac43tt=43,
um valor finito.

Passo 4

Como o limite em x=-3 é finito ( 4/3) e não há explosão para pminfty, concluímos que não existe assíntota vertical nesse ponto, apenas uma descontinuidade removível.

Resposta

A função não possui assíntoas verticais.

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