Resolver as E.D.O.s abaixo:
t^3 w d w-(t^4+3 t^2 w^2+w^4) d t=0, w(t)

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: precisamos resolver a equação diferencial de primeira ordem
t^3 w,dw - (t^4 + 3t^2 w^2 + w^4),dt = 0
que é uma equação homogênea. Para isso, vamos usar a substituição v = w/t.

Passo 2

Reescrevemos a equação no formato dw/dt dividindo ambos os lados por t^3 w:
dwdt = t^4 + 3t^2 w^2 + w^4t^3 w = tw + 3wt + l(wtr)^3

Passo 3

Com a substituição v = w/t, temos w = tv e portanto
dwdt = v + tdvdt

Passo 4

Substituindo na equação e simplificando, obtemos
v + tdvdt = 1v + 3v + v^3,
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tdvdt = 1v + 3v + v^3 - v = v^4 + 2v^2 + 1v = (v^2 + 1)^2v

Passo 5

Agora separamos variáveis:
v(v^2 + 1)^2,dv = dtt
Integrando ambos os lados,
integral v(v^2 + 1)^2,dv = integral dtt
Fazendo a substituição u = v^2 + 1 e du = 2v,dv, chegamos a
-12(v^2 + 1) = ln|t| + C

Passo 6

Voltando à variável original w com v = w/t e reescrevendo a constante, obtemos a solução implícita
-12l((w/t)^2 + 1r) = ln|t| + C
o que pode ser reorganizado como
t^2w^2 + t^2 + 2ln|t| = C'

Resposta

t^2w^2 + t^2 + 2ln|t| = C

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