Sendo y=y(t), encontre a solução geral da EDO abaixo:
y^prime prime+y=cot (t)=cos (t)sin (t)
onde 0.
OBSERVAÇÃO: Lembre que
integral csc (t) d t=integral 1sin (t) d t=-ln |csc (t)+cot (t)|+K, K in R

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não homogênea de segunda ordem
y'' + y = cot(t), 0 < t < tfracpi2,
que envolve trigonometria e integrais de funções trigonométricas. Vamos usar o método dos coeficientes variáveis (variação de parâmetros), aproveitando a base de soluções da homogênea.

Passo 2

A parte homogênea associada é
y'' + y = 0
As soluções fundamentais são
y1(t) = cos(t), y2(t) = sin(t)
Logo a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)

Passo 3

Para achar uma solução particular yp usamos a fórmula de variação de parâmetros. Com Wronskiano W = y1y2' - y1'y2 = 1, temos
yp(t) = -y1(t) integral y2(t) f(t),dt + y2(t) integral y1(t) f(t),dt,
onde f(t)=cot(t). Substituindo y1 e y2,
integral y2(t)f(t),dt = integral sin(t)cot(t),dt = integral cos(t),dt = sin(t),
integral y1(t)f(t),dt = integral cos(t)cot(t),dt = integral cos^2(t)sin(t),dt = integral l(csc(t) - sin(t)r),dt
Usando
integral csc(t),dt = -lnl|csc(t)+cot(t)r| + K, integral sin(t),dt = -cos(t),
obtém-se
integral l(csc(t) - sin(t)r),dt = -lnl|csc(t)+cot(t)r| + cos(t)

Passo 4

Agora montamos yp:
yp(t) = -cos(t)l[sin(t)r] + sin(t)l[-lnl|csc(t)+cot(t)r| + cos(t)r]
Distributindo,
yp(t) = -cos(t)sin(t) - sin(t)lnl|csc(t)+cot(t)r| + sin(t)cos(t)
Os termos -cos tsin t e +sin tcos t se cancelam, restando
yp(t) = -sin(t)lnl|csc(t)+cot(t)r|
No intervalo dado 0, sabemos que sin t>0 e csc t+cot t>0, então podemos retirar as barras de valor absoluto.

Passo 5

Portanto a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:

Passo 6

y(t) = C1cos(t) + C2sin(t) - sin(t)lnl(csc(t)+cot(t)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_{1}\cos(t)+C_{2}\sin(t)-\sin(t)\ln\bigl(\csc(t)+\cot(t)\bigr)

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