Sendo y=y(t), encontre a solução geral da EDO abaixo:
y^prime prime+y=t sin (3 t)

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial $ y’’ + y = t \sin(3t) $. O conteúdo aqui é equações diferenciais ordinárias (EDOs) de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea $ y’’ + y = 0 $. Para isso, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rt} $. Substituindo na equação:
y'' + y = 0
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, temos que $ r^2 + 1 = 0 $, ou seja, $ r = \pm i $.

Passo 3

Com raízes complexas $ r = \pm i $, a solução geral da equação homogênea é:
r = pm i
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa $ y’’ + y = t \sin(3t) $. Como o lado direito é um polinômio de grau 1 multiplicado por $ \sin(3t) $, assumimos que a solução particular tem a forma:
yp(t)
onde $ A, B, C, D $ são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de $ y_p(t) $:
yp(t)
yp'(t) = A sin(3t) + (A t + B) 3 cos(3t) + C cos(3t) - (C t + D) 3 sin(3t)

Passo 6

Substituímos $ y_p(t) $ e $ y_p’’(t) $ na equação original:
yp(t)
Após simplificar e agrupar os termos semelhantes, igualamos os coeficientes dos termos $ t \sin(3t) $, $ t \cos(3t) $, $ \sin(3t) $ e $ \cos(3t) $ de ambos os lados para encontrar $ A, B, C, D $.

Passo 7

Resolvendo o sistema de equações resultante, encontramos:
A = -110, B = 0, C = 0, D = 310
Portanto, a solução particular é:
yp(t) = (-110 t) sin(3t) + (310) cos(3t)

Passo 8

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da EDO:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) - 110 t sin(3t) + 310 cos(3t)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) - 110 t sin(3t) + 310 cos(3t)

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