Sendo
, encontre a solução geral da EDO abaixo:
Passo 1
Então, a gente tem a equação diferencial $ y’’ + y = t \sin(3t) $. O conteúdo aqui é equações diferenciais ordinárias (EDOs) de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea $ y’’ + y = 0 $. Para isso, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rt} $. Substituindo na equação:
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, temos que $ r^2 + 1 = 0 $, ou seja, $ r = \pm i $.
Passo 3
Com raízes complexas $ r = \pm i $, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa $ y’’ + y = t \sin(3t) $. Como o lado direito é um polinômio de grau 1 multiplicado por $ \sin(3t) $, assumimos que a solução particular tem a forma:
onde $ A, B, C, D $ são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de $ y_p(t) $:
Passo 6
Substituímos $ y_p(t) $ e $ y_p’’(t) $ na equação original:
Após simplificar e agrupar os termos semelhantes, igualamos os coeficientes dos termos $ t \sin(3t) $, $ t \cos(3t) $, $ \sin(3t) $ e $ \cos(3t) $ de ambos os lados para encontrar $ A, B, C, D $.
Passo 7
Resolvendo o sistema de equações resultante, encontramos:
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da EDO:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: