Resolver as E.D.O.s abaixo:
y^prime=7 x^2+2 y^2x y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a E.D.O.
y' = 7x^2 + 2y^2xy
O conteúdo principal aqui são equações diferenciais homogêneas, e vamos precisar reconhecer que o lado direito depende de y/x e usar a substituição y = vx.

Passo 2

Em equações homogêneas, quando y' = f(x,y) e f(x,y) pode ser escrito como Gl(y/xr), fazemos a troca y = vx. Assim, temos:
y = vx Longrightarrow y' = v + xdvdx

Passo 3

Substituindo y = vx e y' = v + x,dv/dx na E.D.O.:
v + xdvdx = 7x^2 + 2(vx)^2x,(vx)
Simplificando o lado direito: 2(vx)^2 = 2v^2x^2 e x,(vx)=vx^2, fica
v + xdvdx = 7x^2 + 2v^2x^2v x^2 = x^2(7+2v^2)v x^2 = 7 + 2v^2v

Passo 4

Isolando dv/dx:
xdvdx = 7 + 2v^2v - v = 7 + 2v^2 - v^2v = 7 + v^2v

Passo 5

Agora separamos as variáveis:
v7+v^2,dv = dxx
Integramos ambos os lados:
integral v7+v^2,dv = integral dxx
O lado esquerdo vale tfrac12 ln(7+v^2) e o direito ln|x| + C.

Passo 6

Obtemos assim:
tfrac12 ln(7+v^2) = ln|x| + C
Multiplicando por 2 e exponenciando:
ln(7+v^2) = 2ln|x| + C' Longrightarrow 7+v^2 = K x^2,
onde K = e^C' é constante arbitrária.

Passo 7

Voltando a y com v = y/x e multiplicando por x^2, chegamos à solução implícita:
7x^2 + y^2 = K x^4,
que é a forma geral da família de soluções.

Resposta

7x^2 + y^2 = C x^4

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