Sendo
, encontre a solução geral da equação de Airy
onde
, usando uma série de potências em torno do ponto ordinário
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício de Equações Diferenciais, mais especificamente da Equação de Airy, que é uma equação do tipo $ y’’ - x y = 0 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação usando uma série de potências em torno de $ x = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funcionam as séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução $ y(x) $ da equação pode ser escrita como uma série de potências centrada em $ x = 0 $. Ou seja,
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de $ y(x) $. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Vamos substituir $ y(x) $ e $ y’’(x) $ na equação de Airy:
Simplificando o segundo termo:
Agora, temos:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente em $ x $. Para a primeira soma, fazemos uma mudança de índice $ m = n - 2 $:
Para a segunda soma, mantemos $ m = n + 1 $:
Agora, reescrevemos a equação:
Passo 6
Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x^m $ devem ser iguais a zero. Vamos escrever isso para cada $ m $:
Para $ m = 0 $:
Para $ m \geq 1 $:
Passo 7
Vamos encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes $ a_n $. Observando a relação $ a_{m+2} = \frac{a_{m-1}}{(m+2)(m+1)} $, vemos que cada coeficiente depende de um coeficiente três posições antes.
Para começar, precisamos definir alguns termos iniciais. Consideramos $ a_0 $ e $ a_1 $ como constantes arbitrárias, pois a solução geral de uma equação diferencial de segunda ordem tem duas constantes de integração.
Passo 8
Vamos calcular alguns coeficientes para identificar o padrão:
-
Já sabemos que $ a_2 = 0 $.
-
Para $ m = 1 $:
- Para $ m = 2 $:
- Para $ m = 3 $:
- Para $ m = 4 $:
E assim por diante. Observamos que os coeficientes com índices múltiplos de 3 dependem de $ a_0 $, e os outros de $ a_1 $.
Passo 9
Com isso, podemos escrever a solução geral como uma combinação de duas séries de potências, uma envolvendo $ a_0 $ e outra envolvendo $ a_1 $:
Resposta
A solução geral da equação de Airy $ y’’ - x y = 0 $ usando uma série de potências em torno de $ x = 0 $ é dada por
onde $ a_0 $ e $ a_1 $ são constantes arbitrárias.