Sendo y=y(x), encontre a solução geral da equação de Airy
y^prime prime-x y=0
onde x in R, usando uma série de potências em torno do ponto ordinário x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício de Equações Diferenciais, mais especificamente da Equação de Airy, que é uma equação do tipo $ y’’ - x y = 0 $. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação usando uma série de potências em torno de $ x = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funcionam as séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução $ y(x) $ da equação pode ser escrita como uma série de potências centrada em $ x = 0 $. Ou seja,
y(x)
Aqui, $ a_n $ são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de $ y(x) $. A primeira derivada é:
y(x)
E a segunda derivada é:
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1

Passo 4

Vamos substituir $ y(x) $ e $ y’’(x) $ na equação de Airy:
y(x)
Simplificando o segundo termo:
y''(x)
Agora, temos:
y'' - x y = 0 implies sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 - x sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente em $ x $. Para a primeira soma, fazemos uma mudança de índice $ m = n - 2 $:
x
Para a segunda soma, mantemos $ m = n + 1 $:
m = n - 2
Agora, reescrevemos a equação:
summ=0^infty (m+2)(m+1) am+2 x^m

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todo $ x $, os coeficientes de cada potência de $ x^m $ devem ser iguais a zero. Vamos escrever isso para cada $ m $:
Para $ m = 0 $:
x
Para $ m \geq 1 $:
x^m

Passo 7

Vamos encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes $ a_n $. Observando a relação $ a_{m+2} = \frac{a_{m-1}}{(m+2)(m+1)} $, vemos que cada coeficiente depende de um coeficiente três posições antes.
Para começar, precisamos definir alguns termos iniciais. Consideramos $ a_0 $ e $ a_1 $ como constantes arbitrárias, pois a solução geral de uma equação diferencial de segunda ordem tem duas constantes de integração.

Passo 8

Vamos calcular alguns coeficientes para identificar o padrão:
  • Já sabemos que $ a_2 = 0 $.
  • Para $ m = 1 $:
a2 = 0
  • Para $ m = 2 $:
m = 1
  • Para $ m = 3 $:
a3 = a0(3)(2) = a06
  • Para $ m = 4 $:
m = 2
E assim por diante. Observamos que os coeficientes com índices múltiplos de 3 dependem de $ a_0 $, e os outros de $ a_1 $.

Passo 9

Com isso, podemos escrever a solução geral como uma combinação de duas séries de potências, uma envolvendo $ a_0 $ e outra envolvendo $ a_1 $:
a0

Resposta

A solução geral da equação de Airy $ y’’ - x y = 0 $ usando uma série de potências em torno de $ x = 0 $ é dada por
y'' - x y = 0
onde $ a_0 $ e $ a_1 $ são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados