Resolver as E.D.O.s abaixo:
y^prime=e^2 x-6 y, y=y(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem y' = e^2x - 6y, ou seja, dydx = e^2x - 6y. O conteúdo que vamos usar é separação de variáveis, isolando termos em x e y.

Passo 2

Reescrevemos a EDO de modo a separar as variáveis. Note que e^2x - 6y = e^2x,e^-6y, portanto podemos escrever:
e^6y,dy = e^2x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Do lado esquerdo, integral e^6y,dy = 16e^6y. Do lado direito, integral e^2x,dx = 12e^2x. Assim,
16e^6y = 12e^2x + C

Passo 4

Multiplicando por 6 e isolando y: primeiro,
e^6y = 3e^2x + C1
então aplicamos logaritmo natural,
6y = lnl(3e^2x + C1r)
e, por fim,
y = 16lnl(3e^2x + C1r)

Resposta

y(x) = \frac{1}{6}\ln\bigl(3e^{2x} + C\bigr)

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