Resolver as E.D.O.s abaixo:
y^prime=y^2+2 y+1x^2+2 x+5

Passo 1

O problema é resolver a E.D.O.
te:
dydx=y^2+2y+1x^2+2x+5
Esse tipo de equação é separável: dá para deixar as funçõ es de y e de x em lados opostos e integrar.

Passo 2

Note que
y^2+2y+1=(y+1)^2 t
e
x^2+2x+5=(x+1)^2+2^2
Então fazemos a separação de variáveis:
dy(y+1)^2=dx(x+1)^2+4

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, usamos a regra
integral u^-2,du=-u^-1+constante
Com u=y+1 obtemos
integraldy(y+1)^2=-1y+1

Passo 4

No lado direito, reconhecemos a forma padrão
integralduu^2+a^2=1aarctanl(uar)+constante
Aqui u=x+1 e a=2, logo
integraldx(x+1)^2+4=12arctanl(x+12r)

Passo 5

Igualando as duas integrais e incluindo a constante de integração C, temos
-1y+1=12arctanl(x+12r)+C

Passo 6

Para terminar, isolamos y: multiplicando por -1, definindo C1=-C e invertendo a fração, chega-se a
y+1=2C1-arctanl(x+12r)
e portanto
y=2C1-arctanl(tfracx+12r)-1,
onde C1 é uma constante arbitrária de integração.

Resposta

A solução geral é
y=2C-arctanl(tfracx+12r)-1,
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados