Sendo y=y(t), encontre a solução geral da EDO abaixo:
y^prime prime+4 y^prime+4 y=t^-2 e^-2 t
onde t>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
y'' + 4 y' + 4 y = t^-2 e^-2 t
Isso significa que a gente está lidando com uma EDO linear com coeficientes constantes e um termo não homogêneo no lado direito. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular dessa EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
y'' + 4 y' + 4 y = 0
Para resolver essa equação, a gente usa a equação característica. Isso mesmo! A gente assume uma solução do tipo $ y = e^{r t} $ e substitui na equação:
y = e^r t
Essa é uma equação quadrática. Vamos resolver para $ r $:
r^2 + 4 r + 4 = 0
Então, temos uma raiz dupla $ r = -2 $.

Passo 3

Com uma raiz dupla, a solução geral da parte homogênea fica:
yh(t) = (C1 + C2 t) e^-2 t
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que a gente determina com condições iniciais, caso tenham sido dadas. Mas, como não temos condições iniciais, vamos deixar assim por enquanto.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa. A equação completa é:
yp(t)
O lado direito é $ t^{-2} e^{-2 t} $. Observando a solução homogênea, vemos que $ e^{-2 t} $ já está presente, mas como está multiplicado por $ t^{-2} $, que é uma função diferente, podemos tentar uma solução particular do tipo $ y_p(t) = t^k e^{-2 t} $. Porém, para simplificar, vamos usar o método dos coeficientes a determinar ou variação de parâmetros.
Dada a complexidade do termo $ t^{-2} e^{-2 t} $, o método da variação de parâmetros é mais adequado aqui. Vamos aplicar esse método.

Passo 5

Para usar a variação de parâmetros, primeiro precisamos das soluções da parte homogênea, que já temos:
y1(t) = e^-2 t
y2(t) = t e^-2 t
Agora, a solução particular será:
yp(t) = u1(t) y1(t) + u2(t) y2(t)
Onde $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $ são funções que vamos determinar.

Passo 6

Para encontrar $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $, usamos as seguintes fórmulas:
u1(t)
u2(t)
Onde $ g(t) = t^{-2} e^{-2 t} $ e $ W $ é o Wronskiano das soluções homogêneas:
u1'(t) = -y2(t) cdot g(t)W

Passo 7

Calculando $ u_1’(t) $ e $ u_2’(t) $:
u1'(t)
u2'(t)
Integrando:
u1'(t) = -t e^-2 t cdot t^-2 e^-2 te^-4 t = -t^-1 e^-4 te^-4 t = -t^-1
u2'(t) = e^-2 t cdot t^-2 e^-2 te^-4 t = t^-2 e^-4 te^-4 t = t^-2
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração.

Passo 8

Substituindo $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $ na expressão da solução particular:
u1(t)
Simplificando:
u2(t)

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(t) = (C1 + C2 t) e^-2 t - (ln t + 1) e^-2 t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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