Sendo
, encontre a solução geral da EDO abaixo:
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
Isso significa que a gente está lidando com uma EDO linear com coeficientes constantes e um termo não homogêneo no lado direito. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada com uma solução particular dessa EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Para resolver essa equação, a gente usa a equação característica. Isso mesmo! A gente assume uma solução do tipo $ y = e^{r t} $ e substitui na equação:
Essa é uma equação quadrática. Vamos resolver para $ r $:
Então, temos uma raiz dupla $ r = -2 $.
Passo 3
Com uma raiz dupla, a solução geral da parte homogênea fica:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que a gente determina com condições iniciais, caso tenham sido dadas. Mas, como não temos condições iniciais, vamos deixar assim por enquanto.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa. A equação completa é:
O lado direito é $ t^{-2} e^{-2 t} $. Observando a solução homogênea, vemos que $ e^{-2 t} $ já está presente, mas como está multiplicado por $ t^{-2} $, que é uma função diferente, podemos tentar uma solução particular do tipo $ y_p(t) = t^k e^{-2 t} $. Porém, para simplificar, vamos usar o método dos coeficientes a determinar ou variação de parâmetros.
Dada a complexidade do termo $ t^{-2} e^{-2 t} $, o método da variação de parâmetros é mais adequado aqui. Vamos aplicar esse método.
Passo 5
Para usar a variação de parâmetros, primeiro precisamos das soluções da parte homogênea, que já temos:
Agora, a solução particular será:
Onde $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $ são funções que vamos determinar.
Passo 6
Para encontrar $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $, usamos as seguintes fórmulas:
Onde $ g(t) = t^{-2} e^{-2 t} $ e $ W $ é o Wronskiano das soluções homogêneas:
Passo 7
Calculando $ u_1’(t) $ e $ u_2’(t) $:
Integrando:
Como estamos procurando uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração.
Passo 8
Substituindo $ u_1(t) $ e $ u_2(t) $ na expressão da solução particular:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.