Dada a equação diferencial: y^prime prime(T)+y^prime(T)-54 y(T)=2 cdot upi(T) com y(0)=0 e y^prime(0)=0
Determine a transformada de Laplace da solução y(T) do P.V.I

Passo 1

O enunciado diz que temos uma EDO linear de segunda ordem com variável independente T, condições iniciais zeradas e uma entrada por degrau deslocado em T=pi. O conteúdo é a transformada de Laplace para resolver EDOs com funções de entrada do tipo ua(T). Vamos usar as propriedades de linearidade, a transformada de derivadas e a transformada do degrau deslocado.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace nos dois lados da equação
Ly''(T) + Ly'(T) - tfrac54Ly(T) = 2,Lupi(T),
e usando as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0, temos
Ly''(T) = s^2Y(s),
Ly'(T) = sY(s),
Ly(T) = Y(s)

Passo 3

A transformada de Laplace do degrau deslocado upi(T) é
Lupi(T) = e^-pi ss
Então o lado direito fica
2,Lupi(T) = 2,e^-pi ss

Passo 4

Reunindo tudo, a equação algébrica em s é
l(s^2 + s - tfrac54r)Y(s) = 2,e^-pi ss
Isolando Y(s), obtemos a transformada da solução. A forma final da transformada de Laplace de y(T) é a expressão abaixo, pronta para ser invertida ou analisada posteriormente.

Resposta

Y(s)=\frac{2,e^{-\pi s}}{s,(s^2 + s - 5/4)}

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