Resolver as E.D.O.s abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a E.D.O. de primeira ordem linear
, que podemos reescrever como
. O conteúdo é E.D.O. linear de primeira ordem e vamos precisar usar o fator integrante.
Passo 2
Calculamos o fator integrante
pela fórmula
, onde
. Assim,
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
para obter
$$e^x y
Passo 4
e^x y = x e^x e^{8x} = x e^{9x}.$$
Passo 5
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
:
Passo 6
Integramos ambos os lados:
Passo 7
Para calcular
, usamos integração por partes com
e
:
Passo 8
Logo,
Passo 9
Por fim, isolamos
dividindo por
e simplificamos:
Resposta
y = \frac{9x - 1}{81}e^{8x} + C e^{-x}