Resolver as E.D.O.s abaixo:
y^prime+y-x e^8 x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a E.D.O. de primeira ordem linear y' + y - x e^8x = 0, que podemos reescrever como y' + y = x e^8x. O conteúdo é E.D.O. linear de primeira ordem e vamos precisar usar o fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) pela fórmula mu(x) = e^integral P(x),dx, onde P(x)=1. Assim,
mu(x) = e^integral 1,dx = e^x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por e^x para obter
$$e^x y

Passo 4

e^x y = x e^x e^{8x} = x e^{9x}.$$

Passo 5

O lado esquerdo é exatamente a derivada de e^x y:
ddxl(e^x yr) = x e^9x

Passo 6

Integramos ambos os lados:
e^x y = integral x e^9x,dx + C

Passo 7

Para calcular integral x e^9x,dx, usamos integração por partes com u=x e dv=e^9xdx:
integral x e^9xdx = x9e^9x - integral 19e^9xdx = x9e^9x - 181e^9x + C

Passo 8

Logo,
e^x y = e^9xl(x9 - 181r) + C

Passo 9

Por fim, isolamos y dividindo por e^x e simplificamos:
y = e^8xl(x9 - 181r) + C e^-x = 9x - 181e^8x + C e^-x

Resposta

y = \frac{9x - 1}{81}e^{8x} + C e^{-x}

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