Sendo
, encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com condições iniciais $ y(1) = 1 $ e $ y’(1) = 1 $. Vamos precisar usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem, especificamente as equações de Cauchy-Euler. Esses tipos de equações têm coeficientes que são funções de $ x $, e vamos resolver encontrando raízes características para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a equação é uma equação de Cauchy-Euler. Esse tipo de equação tem a forma geral:
No nosso caso, $ a = 25 $, $ b = 25 $ e $ c = 1 $.
Passo 3
Para resolver uma equação de Cauchy-Euler, assumimos uma solução da forma $ y = x^{m} $, onde $ m $ é uma constante que vamos determinar. Vamos calcular as derivadas:
Passo 4
Substituindo $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Fatorando $ x^{m} $ e somando os coeficientes:
Isso nos dá a equação característica:
Passo 6
Vamos simplificar a equação característica:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática $ 25 m^{2} + 1 = 0 $:
Aqui, temos raízes imaginárias, $ m = \alpha \pm \beta i $, onde $ \alpha = 0 $ e $ \beta = \frac{1}{5} $.
Passo 8
Quando as raízes são complexas $ m = \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação de Cauchy-Euler é:
No nosso caso, $ \alpha = 0 $ e $ \beta = \frac{1}{5} $, então:
Passo 9
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
Primeiro, usando $ y(1) = 1 $:
Então, $ C_{1} = 1 $.
Passo 10
Agora, vamos encontrar $ C_{2} $ usando a condição $ y’(1) = 1 $.
Primeiro, calculamos a derivada de $ y(x) $:
Agora, aplicamos $ y’(1) = 1 $:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: