Sendo y=y(x), encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:
25 x^2 y^prime prime+25 x y^prime+y=0 com y(1)=1 e y^prime(1)=1
onde x>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
25 x^2 y'' + 25 x y' + y = 0
com condições iniciais $ y(1) = 1 $ e $ y’(1) = 1 $. Vamos precisar usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem, especificamente as equações de Cauchy-Euler. Esses tipos de equações têm coeficientes que são funções de $ x $, e vamos resolver encontrando raízes características para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a equação é uma equação de Cauchy-Euler. Esse tipo de equação tem a forma geral:
a x^2 y'' + b x y' + c y = 0
No nosso caso, $ a = 25 $, $ b = 25 $ e $ c = 1 $.

Passo 3

Para resolver uma equação de Cauchy-Euler, assumimos uma solução da forma $ y = x^{m} $, onde $ m $ é uma constante que vamos determinar. Vamos calcular as derivadas:
y = x^m
m

Passo 4

Substituindo $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
y
Simplificando cada termo:
y'

Passo 5

Fatorando $ x^{m} $ e somando os coeficientes:
x^m
Isso nos dá a equação característica:
x^m ( 25 m (m - 1) + 25 m + 1 ) = 0

Passo 6

Vamos simplificar a equação característica:
25 m^2 - 25 m + 25 m + 1 = 0
25 m^2 + 1 = 0

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática $ 25 m^{2} + 1 = 0 $:
25 m^2 + 1 = 0
25 m^2 = -1
m^2 = -125
Aqui, temos raízes imaginárias, $ m = \alpha \pm \beta i $, onde $ \alpha = 0 $ e $ \beta = \frac{1}{5} $.

Passo 8

Quando as raízes são complexas $ m = \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação de Cauchy-Euler é:
m = alpha pm beta i
No nosso caso, $ \alpha = 0 $ e $ \beta = \frac{1}{5} $, então:
y(x) = x^alpha ( C1 cos(beta ln x) + C2 sin(beta ln x) )

Passo 9

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
Primeiro, usando $ y(1) = 1 $:
C1
Então, $ C_{1} = 1 $.

Passo 10

Agora, vamos encontrar $ C_{2} $ usando a condição $ y’(1) = 1 $.
Primeiro, calculamos a derivada de $ y(x) $:
C2
y'(1) = 1
Agora, aplicamos $ y’(1) = 1 $:
y(x)
y'(x) = ddx [ cos(15 ln x) + C2 sin(15 ln x) ]
y'(x) = -15x sin(15 ln x) + C2 cdot 15x cos(15 ln x)

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(x) = cos(15 ln x) + 5 sin(15 ln x)

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