Sem utilizar a regra de LHospital calcule os seguintes limites
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
. O conteúdo é limites de funções envolvendo polinômios, e vamos usar a comparação de termos de maior grau juntamente com propriedades de limite de raízes.
Passo 2
Em polinômios, o comportamento para
é dominado pelos termos de maior grau. Aqui, tanto o numerador quanto o denominador têm grau 3, então vamos focar nesses termos.
Passo 3
Fatorando
dentro da raiz, escrevemos:
[
\sqrt{\frac{8x{3}-5x+2}{1+4x{2}+2x^{3}}}
=\sqrt{\frac{x^{3}\bigl(8 - \frac{5}{x^{2}} + \frac{2}{x{3}}\bigr)}{x{3}\bigl(2 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{3}}\bigr)}}
=\sqrt{\frac{8 - \tfrac{5}{x^{2}} + \tfrac{2}{x^{3}}}{2 + \tfrac{4}{x} + \tfrac{1}{x^{3}}}}.
\sqrt{\frac{8x{3}-5x+2}{1+4x{2}+2x^{3}}}
=\sqrt{\frac{x^{3}\bigl(8 - \frac{5}{x^{2}} + \frac{2}{x{3}}\bigr)}{x{3}\bigl(2 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{3}}\bigr)}}
=\sqrt{\frac{8 - \tfrac{5}{x^{2}} + \tfrac{2}{x^{3}}}{2 + \tfrac{4}{x} + \tfrac{1}{x^{3}}}}.
Passo 4
Agora calculamos o limite do quociente dentro da raiz:
Passo 5
Por fim, aplicando a raiz quadrada ao resultado, temos
Resposta
2