Sem utilizar a regra de LHospital calcule os seguintes limites
lim x infty raiz8 x^3-5 x+21+4 x^2+2 x^3

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxtoinfty raiz8x^3-5x+21+4x^2+2x^3. O conteúdo é limites de funções envolvendo polinômios, e vamos usar a comparação de termos de maior grau juntamente com propriedades de limite de raízes.

Passo 2

Em polinômios, o comportamento para xtoinfty é dominado pelos termos de maior grau. Aqui, tanto o numerador quanto o denominador têm grau 3, então vamos focar nesses termos.

Passo 3

Fatorando x^3 dentro da raiz, escrevemos:
[
\sqrt{\frac{8x{3}-5x+2}{1+4x{2}+2x^{3}}}
=\sqrt{\frac{x^{3}\bigl(8 - \frac{5}{x^{2}} + \frac{2}{x{3}}\bigr)}{x{3}\bigl(2 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{3}}\bigr)}}
=\sqrt{\frac{8 - \tfrac{5}{x^{2}} + \tfrac{2}{x^{3}}}{2 + \tfrac{4}{x} + \tfrac{1}{x^{3}}}}.

Passo 4

Agora calculamos o limite do quociente dentro da raiz:
limxtoinfty8 - tfrac5x^2 + tfrac2x^32 + tfrac4x + tfrac1x^3=82=4

Passo 5

Por fim, aplicando a raiz quadrada ao resultado, temos
limxtoinftyraiz8x^3-5x+21+4x^2+2x^3=raiz4=2

Resposta

2

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