Beleza! Vamos resolver esse sistema de equações usando o método dos Mínimos Quadrados (LSQ, do inglês Least Squares). O que isso significa? Basicamente, quando temos mais equações do que incógnitas e o sistema não tem uma solução exata, usamos os Mínimos Quadrados para encontrar a melhor aproximação possível. Aqui, vamos precisar de conceitos de álgebra linear, como matrizes e transposição de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial 2x + y = 4 4x + 2y = 1 6x + 3y = 4 . As equações dadas são:
A = 2 & 1 4 & 2 6 & 3 , x = x y , b = 4 1 4
Podemos representar isso como:
Passo 3
Como o sistema é superdeterminado (mais equações do que incógnitas) e pode não ter uma solução exata, usamos a fórmula dos Mínimos Quadrados:
xLSQ = (A^T A)^-1 A^T b
Vamos calcular cada parte dessa expressão passo a passo.
Passo 4
Primeiro, calculamos a transposta da matriz A^T = 2 & 4 & 6 1 & 2 & 3 , denotada por :
Em seguida, calculamos a inversa de a & b c & d ^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a , ou seja, Det(A^T A) = (56)(14) - (28)(28) = 784 - 784 = 0 . Para uma matriz , a inversa é dada por:
Aplicando isso a :
Oh não! A determinante é zero, o que significa que não é invertível. Isso acontece porque as colunas de são linearmente dependentes.
Passo 7
Quando não é invertível, usamos a pseudo-inversa de Moore-Penrose para encontrar a solução dos Mínimos Quadrados. Para sistemas simples como este, podemos observar que as equações são múltiplos umas das outras, indicando redundância.
Vamos simplificar o sistema original para encontrar uma solução que minimize o erro.
Passo 8
Podemos considerar apenas duas equações independentes para evitar a dependência linear. Por exemplo:
2x + y = 4 4x + 2y = 1
Resolvemos esse sistema:
Multiplicando a primeira equação por 2:
4x + 2y = 8
Subtraindo a segunda equação:
(4x + 2y) - (4x + 2y) = 8 - 1 Rightarrow 0 = 7
Isso mostra que não há solução exata, então voltamos ao método dos Mínimos Quadrados.
Passo 9
Como não é inversível, uma solução dos Mínimos Quadrados pode ser qualquer vetor que minimize . Observando o sistema, uma solução possível é e .
Resposta
A solução dos Mínimos Quadrados para o sistema dado é e .