Resolver a equação diferencial:
fazendo a mudança de variáveis:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolver fazendo a mudança de variável
Informações fornecidas:
- A equação depende de
e . - A transformação proposta é
.
O que é pedido: - Obter a solução geral da equação diferencial (ou uma forma implícita aceitável) após usar a mudança
.
Passo 2
Expressar
e
em termos de
e
.
Como
, pela regra do produto temos
Para
note que
Para simplificar a escrita e manter raízes reais de forma direta, trabalharemos a seguir assumindo
(nesse caso
), o que dá
(Se
deve-se usar
e o sinal mudaria em alguns passos; aqui seguimos pelo caso
.)
Passo 3
Substituir tudo na equação original.
Começando da equação
substituímos
,
e
. Obtemos
Simplificamos termo a termo. Primeiro expandindo o produto à esquerda:
Agrupando os termos lineares em
:
No colchete simplifica-se
. Assim o lado esquerdo fica
O lado direito é
Logo a equação inteira reduz-se a
Dividindo ambos os lados por
(lembrando
):
Observe que
, portanto os termos
e
se cancelam quando passamos o termo para o outro lado. Fazendo isso:
Portanto obtemos a equação simples
Passo 4
Separar variáveis e integrar.
Isolando
:
Esta é uma equação separável. Multiplicando ambos os lados por
e por
obtemos
Integramos ambos os lados:
Calcule as integrais explicitamente. No lado esquerdo:
No lado direito:
onde
é a constante de integração. Portanto
Passo 5
Voltar à variável original
e comentar domínio.
Lembrando que
, a solução obtida é implícita:
ou, rearranjando,
Essa relação define a solução geral implicitamente. Observações sobre domínio:
- O passo em que usamos
pressupôs e (isto é, ). Para seria necessário trocar e refazer os sinais (o procedimento é análogo, levando a uma forma parecida com sinal trocado em certo passo). - Não há soluções singulares ocultas, pois
nunca é zero para real não negativa.