Resolver a equação diferencial:
(x+\sqrt{x y}) \frac{d y}{d x}+x-y=x^{-1 / 2} y^{3 / 2}
fazendo a mudança de variáveis:
v=\frac{y}{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x+\sqrt{x y})\frac{dy}{dx}+x-y=x^{-1/2}y^{3/2},
e pede para resolver fazendo a mudança de variável
v=\frac{y}{x}.
Informações fornecidas:
  • A equação depende de x e y(x).
  • A transformação proposta é \;v=\dfrac{y}{x}\;.
    O que é pedido:
  • Obter a solução geral da equação diferencial (ou uma forma implícita aceitável) após usar a mudança \;v=\dfrac{y}{x}\;.

Passo 2

Expressar dy/dx e \sqrt{x y} em termos de v e x.
Como y=vx, pela regra do produto temos
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Para \sqrt{x y} note que
\sqrt{x y}=\sqrt{x\cdot (v x)}=\sqrt{v}\,\sqrt{x^2}=|x|\sqrt{v}.
Para simplificar a escrita e manter raízes reais de forma direta, trabalharemos a seguir assumindo x>0 (nesse caso |x|=x), o que dá
\sqrt{x y}=x\sqrt{v}.
(Se x<0 deve-se usar \sqrt{x y}=|x|\sqrt{v}=-x\sqrt{v} e o sinal mudaria em alguns passos; aqui seguimos pelo caso x>0.)

Passo 3

Substituir tudo na equação original.
Começando da equação
(x+\sqrt{x y})\frac{dy}{dx}+x-y=x^{-1/2}y^{3/2},
substituímos \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}, \sqrt{x y}=x\sqrt{v} e y=vx. Obtemos
\bigl(x+x\sqrt{v}\bigr)\bigl(v+x\frac{dv}{dx}\bigr)+x-vx = x^{-1/2}(v x)^{3/2}.
Simplificamos termo a termo. Primeiro expandindo o produto à esquerda:
x(1+\sqrt{v})\cdot v + x(1+\sqrt{v})\cdot x\frac{dv}{dx} + x(1-v).
Agrupando os termos lineares em x:
x^2(1+\sqrt{v})\frac{dv}{dx} + x\bigl[v(1+\sqrt{v}) + 1 - v\bigr].
No colchete simplifica-se v(1+\sqrt{v})+1-v = 1 + v\sqrt{v}. Assim o lado esquerdo fica
x^2(1+\sqrt{v})\frac{dv}{dx} + x\bigl(1+v\sqrt{v}\bigr).
O lado direito é
x^{-1/2}\cdot x^{3/2} v^{3/2} = x v^{3/2}.
Logo a equação inteira reduz-se a
x^2(1+\sqrt{v})\frac{dv}{dx} + x(1+v\sqrt{v}) = x v^{3/2}.
Dividindo ambos os lados por x (lembrando x>0):
x(1+\sqrt{v})\frac{dv}{dx} + (1+v\sqrt{v}) = v^{3/2}.
Observe que v\sqrt{v}=v^{3/2}, portanto os termos +v\sqrt{v} e -v^{3/2} se cancelam quando passamos o termo para o outro lado. Fazendo isso:
x(1+\sqrt{v})\frac{dv}{dx} = v^{3/2} - (1+v\sqrt{v}) = v^{3/2}-1 - v^{3/2} = -1.
Portanto obtemos a equação simples
x(1+\sqrt{v})\frac{dv}{dx} = -1.

Passo 4

Separar variáveis e integrar.
Isolando \dfrac{dv}{dx}:
\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{x(1+\sqrt{v})}.
Esta é uma equação separável. Multiplicando ambos os lados por (1+\sqrt{v})\,dv e por dx/x obtemos
(1+\sqrt{v})\,dv = -\frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int (1+\sqrt{v})\,dv = \int -\frac{dx}{x}.
Calcule as integrais explicitamente. No lado esquerdo:
\int 1\,dv = v, \qquad \int \sqrt{v}\,dv = \int v^{1/2} dv = \frac{2}{3}v^{3/2}.
No lado direito:
\int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração. Portanto
v + \frac{2}{3}v^{3/2} = -\ln|x| + C.

Passo 5

Voltar à variável original y e comentar domínio.
Lembrando que v=\dfrac{y}{x}, a solução obtida é implícita:
\frac{y}{x} + \frac{2}{3}\left(\frac{y}{x}\right)^{3/2} = -\ln|x| + C,
ou, rearranjando,
\ln|x| + \frac{y}{x} + \frac{2}{3}\left(\frac{y}{x}\right)^{3/2} = C.
Essa relação define a solução geral implicitamente. Observações sobre domínio:
  • O passo em que usamos \sqrt{x y}=x\sqrt{v} pressupôs x>0 e v\ge0 (isto é, y\ge0). Para x<0 seria necessário trocar \sqrt{x y}=|x|\sqrt{v}=-x\sqrt{v} e refazer os sinais (o procedimento é análogo, levando a uma forma parecida com sinal trocado em certo passo).
  • Não há soluções singulares ocultas, pois 1+\sqrt{v} nunca é zero para v real não negativa.

Resposta

\ln|x|+\frac{y}{x}+\frac{2}{3}\left(\frac{y}{x}\right)^{3/2}=C

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