Calcule os limites.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes e observação sobre notação:
- A expressão do numerador usa a variável
(tem ), mas o limite está escrito com . Há uma inconsistência de variáveis no enunciado. - Vou interpretar que a variável do limite é a mesma que aparece na expressão do numerador e denominador, ou seja, que o correto é calcular
(essa é a interpretação natural quando há esse tipo de erro de digitação). Vou resolver esse limite passo a passo.
Passo 2
Entender o numerador: precisamos manipular
Explicando como fatorar um quadrático do tipo
: buscamos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Aqui
e
. Dois números que satisfazem são
e
, pois
Portanto o polinômio fatora como
Passo 3
Substituindo a fatoração na fração original obtemos
Para todo
pode-se cancelar o fator
, ficando
Importante explicar: ao calcular o limite
estamos interessados no comportamento da função quando
se aproxima de
, não necessariamente no valor em
. Assim a simplificação acima é válida em uma vizinhança de
excluindo o próprio ponto
, o que é suficiente para avaliar o limite.
Passo 4
Usar propriedade de limites e continuidade: se duas funções coincidem em todo um vizinho de
exceto possivelmente em
, elas têm o mesmo limite quando
. Como a função simplificada é
para
próximos de
(exceto em
), vale
A função
é contínua em
, então o limite é obtido simplesmente substituindo
:
Passo 5
Comentário extra (útil na prova): outra abordagem possível seria reconhecer uma forma de indeterminação
ao substituir direto
, e então aplicar fatoração (como fizemos) ou, se preferir, o teorema de l’Hôpital (derivando numerador e denominador). Mas a fatoração é mais direta aqui e evita cálculo desnecessário.