Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{t^{2}+x-6}{t-2}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{t^{2}+x-6}{t-2}.
Informações relevantes e observação sobre notação:
  • A expressão do numerador usa a variável t (tem t^{2}), mas o limite está escrito com x\to2. Há uma inconsistência de variáveis no enunciado.
  • Vou interpretar que a variável do limite é a mesma que aparece na expressão do numerador e denominador, ou seja, que o correto é calcular
\lim_{t\to 2}\frac{t^{2}+t-6}{t-2}.
(essa é a interpretação natural quando há esse tipo de erro de digitação). Vou resolver esse limite passo a passo.

Passo 2

Entender o numerador: precisamos manipular
t^{2}+t-6.
Explicando como fatorar um quadrático do tipo \,t^{2}+bt+c: buscamos dois números cuja soma seja b e cujo produto seja c. Aqui b=1 e c=-6. Dois números que satisfazem são 3 e -2, pois
3+(-2)=1,\qquad 3\cdot(-2)=-6.
Portanto o polinômio fatora como
t^{2}+t-6=(t+3)(t-2).

Passo 3

Substituindo a fatoração na fração original obtemos
\frac{t^{2}+t-6}{t-2}=\frac{(t+3)(t-2)}{t-2}.
Para todo t\neq 2 pode-se cancelar o fator (t-2), ficando
\frac{(t+3)(t-2)}{t-2}=t+3\quad\text{(para }t\neq 2\text{)}.
Importante explicar: ao calcular o limite \lim_{t\to 2} estamos interessados no comportamento da função quando t se aproxima de 2, não necessariamente no valor em t=2. Assim a simplificação acima é válida em uma vizinhança de 2 excluindo o próprio ponto 2, o que é suficiente para avaliar o limite.

Passo 4

Usar propriedade de limites e continuidade: se duas funções coincidem em todo um vizinho de a exceto possivelmente em a, elas têm o mesmo limite quando t\to a. Como a função simplificada é t+3 para t próximos de 2 (exceto em 2), vale
\lim_{t\to 2}\frac{t^{2}+t-6}{t-2}=\lim_{t\to 2}(t+3).
A função t+3 é contínua em t=2, então o limite é obtido simplesmente substituindo t=2:
\lim_{t\to 2}(t+3)=2+3=5.

Passo 5

Comentário extra (útil na prova): outra abordagem possível seria reconhecer uma forma de indeterminação \tfrac{0}{0} ao substituir direto t=2, e então aplicar fatoração (como fizemos) ou, se preferir, o teorema de l’Hôpital (derivando numerador e denominador). Mas a fatoração é mais direta aqui e evita cálculo desnecessário.

Resposta

5

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