Calcule a tensão média de cisalhamento, em Pa , sobre o perímetro molhado de uma calha triangular simétrica, de
de altura e
de largura no topo, quando a profundidade da água no escoamento uniforme for
. A declividade de fundo é
. (valor: 1,0 )
Considere os seguintes dados:
i. Profundidade
, em m : soma dos valores dos algarismos da matrícula do aluno, dividido por 60 ;
ii. Massa específica da água,
;
iii. Aceleração da gravidade,
;
i. Profundidade
ii. Massa específica da água,
iii. Aceleração da gravidade,
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (uso
como a profundidade fornecida pelo enunciado — a regra com a matrícula foi informada, mas a matrícula não foi fornecida, então tratarei
como um dado simbólico).
- Dados geométricos do canal (calha triangular simétrica):
- Altura total:
. - Largura no topo (na profundidade total):
.
- Altura total:
- Profundidade de escoamento:
(m) — valor simbólico para usar na resposta; o enunciado deu uma regra para calcular a partir da matrícula, mas a matrícula não foi fornecida. - Declividade de fundo (inclinação):
. - Massa específica da água:
. - Aceleração da gravidade:
.
O que é pedido:
- Calcular a tensão média de cisalhamento (tensão média no perímetro molhado) sobre o perímetro molhado da calha triangular para profundidade
.
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida, para você decorar):
Em escoamento uniforme em canal aberto, a tensão média de cisalhamento na superfície de contato entre fluido e fundo/laterais (tensão média que sustenta a perda de carga) é dada por
onde:
-
é a tensão média de cisalhamento (Pa); -
é a massa específica do fluido ( ); -
é a gravidade ( ); -
é o raio hidráulico, definido por , com área da seção molhada e perímetro molhado (ambos na seção transversal); -
é a declividade do fundo (adimensional; aqui ).
Explicando em miúdos:
é a “força por volume” disponível devido à inclinação, e
transforma isso numa tensão média ao considerar a relação área/perímetro (área gera força, perímetro é onde essa força se distribui).
Passo 3
Geometria da seção triangular (passo a passo):
A calha é triangular simétrica. A largura no topo cresce linearmente com a profundidade. Seja
a profundidade (no nosso problema
).
- A razão entre largura no topo e altura total é
Portanto, a largura no topo para profundidade
é
- Área da seção molhada (triângulo) é
Aqui
tem unidades
e
está em
.
Passo 4
Perímetro molhado
(detalhado, sem pular etapas):
A seção triangular tem duas abas laterais molhadas (a base afiada no vértice não é molhada se a profundidade for
pequena; mas nesta calha simétrica as duas laterais são iguais). Cada lado tem comprimento igual à hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos
(altura) e
(meia largura do topo). Então:
- Meia-largura:
. - Comprimento de cada lado:
Podemos escrever
, então
- Perímetro molhado (duas laterais):
Para referência numérica,
Passo 5
Raio hidráulico
:
Por definição
. Substituindo as expressões que obtivemos:
Numérico aproximado:
Passo 6
Calcular a tensão média
substituindo
na fórmula
:
Colocando
e
,
Substituindo os valores numéricos dados (
,
):
Calculando a constante:
Portanto, em forma prática:
onde
é a profundidade em metros. Substituindo
obtemos a tensão média para a profundidade pedida.
Observação pedagógica: a tensão média cresce linearmente com a profundidade
nessa geometria triangular porque
é proporcional a
(área cresce com
e perímetro cresce com
, resultando em
).
Passo 7
Como o enunciado dá uma regra para obter numericamente
a partir da matrícula (soma dos algarismos da matrícula dividida por
), basta calcular essa soma e multiplicar por
para obter
(em metros) e então usar a expressão acima para obter
. Mas, como não foi fornecida a matrícula, a resposta final é dada em função de
.