Calcule a tensão média de cisalhamento, em Pa , sobre o perímetro molhado de uma calha triangular simétrica, de 1,20 \mathrm{~m} de altura e 3,00 \mathrm{~m} de largura no topo, quando a profundidade da água no escoamento uniforme for \mathrm{y}_{\mathrm{o}}. A declividade de fundo é 1 \mathrm{~m} / 500 \mathrm{~m}. (valor: 1,0 )
Considere os seguintes dados:
i. Profundidade \mathrm{y}_{\mathrm{o}}, em m : soma dos valores dos algarismos da matrícula do aluno, dividido por 60 ;
ii. Massa específica da água, \rho=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3};
iii. Aceleração da gravidade, \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2};

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (uso \mathrm{y}_o como a profundidade fornecida pelo enunciado — a regra com a matrícula foi informada, mas a matrícula não foi fornecida, então tratarei \mathrm{y}_o como um dado simbólico).
  • Dados geométricos do canal (calha triangular simétrica):
    • Altura total: 1,20\\ \mathrm{m}.
    • Largura no topo (na profundidade total): 3,00\\ \mathrm{m}.
  • Profundidade de escoamento: \mathrm{y}_o (m) — valor simbólico para usar na resposta; o enunciado deu uma regra para calcular \mathrm{y}_o a partir da matrícula, mas a matrícula não foi fornecida.
  • Declividade de fundo (inclinação): S = \dfrac{1}{500}.
  • Massa específica da água: \rho=10^{3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Aceleração da gravidade: g=9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
O que é pedido:
  • Calcular a tensão média de cisalhamento (tensão média no perímetro molhado) sobre o perímetro molhado da calha triangular para profundidade \mathrm{y}_o.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida, para você decorar):
Em escoamento uniforme em canal aberto, a tensão média de cisalhamento na superfície de contato entre fluido e fundo/laterais (tensão média que sustenta a perda de carga) é dada por
\tau_0=\rho\,g\,R\,S,
onde:
  • \tau_0 é a tensão média de cisalhamento (Pa);
  • \rho é a massa específica do fluido ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3);
  • g é a gravidade ( \mathrm{m}/\mathrm{s}^2);
  • R é o raio hidráulico, definido por R=\dfrac{A}{P}, com A área da seção molhada e P perímetro molhado (ambos na seção transversal);
  • S é a declividade do fundo (adimensional; aqui S=1/500).
Explicando em miúdos: \rho g S é a “força por volume” disponível devido à inclinação, e R transforma isso numa tensão média ao considerar a relação área/perímetro (área gera força, perímetro é onde essa força se distribui).

Passo 3

Geometria da seção triangular (passo a passo):
A calha é triangular simétrica. A largura no topo cresce linearmente com a profundidade. Seja y a profundidade (no nosso problema y=\mathrm{y}_o).
  • A razão entre largura no topo e altura total é
\frac{3,00}{1,20}=2{,}5.
Portanto, a largura no topo para profundidade y é
b=2{,}5\,y.
  • Área da seção molhada (triângulo) é
A=\frac{1}{2}\,b\,y=\frac{1}{2}\,(2{,}5\,y)\,y=1{,}25\,y^{2}.
Aqui A tem unidades \mathrm{m}^2 e y está em \mathrm{m}.

Passo 4

Perímetro molhado P (detalhado, sem pular etapas):
A seção triangular tem duas abas laterais molhadas (a base afiada no vértice não é molhada se a profundidade for y pequena; mas nesta calha simétrica as duas laterais são iguais). Cada lado tem comprimento igual à hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos y (altura) e b/2 (meia largura do topo). Então:
  • Meia-largura: b/2 = 1{,}25\,y.
  • Comprimento de cada lado:
s=\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^{2}+y^{2}} =\sqrt{(1{,}25\,y)^{2}+y^{2}} =\sqrt{1{,}5625\,y^{2}+1\,y^{2}} =\sqrt{2{,}5625}\;y.
Podemos escrever 2{,}5625=\dfrac{41}{16}, então
s=y\sqrt{\frac{41}{16}}=y\frac{\sqrt{41}}{4}.
  • Perímetro molhado (duas laterais):
P=2s=2\left(y\frac{\sqrt{41}}{4}\right)=y\frac{\sqrt{41}}{2}.
Para referência numérica,
P\approx 3{,}20156\,y\quad(\mathrm{m}).

Passo 5

Raio hidráulico R:
Por definição R=\dfrac{A}{P}. Substituindo as expressões que obtivemos:
R=\frac{1{,}25\,y^{2}}{y\frac{\sqrt{41}}{2}} =\frac{1{,}25\cdot 2}{\sqrt{41}}\,y =\frac{2{,}5}{\sqrt{41}}\,y.
Numérico aproximado:
R\approx 0{,}39031\,y\quad(\mathrm{m}).

Passo 6

Calcular a tensão média \tau_0 substituindo R na fórmula \tau_0=\rho g R S:
Colocando R=\dfrac{2{,}5}{\sqrt{41}}\,y e S=\dfrac{1}{500},
\tau_0=\rho\,g\,S\cdot\frac{2{,}5}{\sqrt{41}}\,y.
Substituindo os valores numéricos dados ( \rho=10^{3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3, g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2):
\tau_0=\frac{1000\cdot 9{,}81\cdot 1}{500}\cdot\frac{2{,}5}{\sqrt{41}}\,y =\frac{49{,}05}{\sqrt{41}}\,y.
Calculando a constante:
\frac{49{,}05}{\sqrt{41}}\approx 7{,}659\\ (\text{Pa por metro de profundidade}).
Portanto, em forma prática:
\tau_0\approx 7{,}659\;y\quad(\mathrm{Pa}),
onde y é a profundidade em metros. Substituindo y=\mathrm{y}_o obtemos a tensão média para a profundidade pedida.
Observação pedagógica: a tensão média cresce linearmente com a profundidade y nessa geometria triangular porque R é proporcional a y (área cresce com y^2 e perímetro cresce com y, resultando em R\propto y).

Passo 7

Como o enunciado dá uma regra para obter numericamente \mathrm{y}_o a partir da matrícula (soma dos algarismos da matrícula dividida por 60), basta calcular essa soma e multiplicar por 1/60 para obter \mathrm{y}_o (em metros) e então usar a expressão acima para obter \tau_0. Mas, como não foi fornecida a matrícula, a resposta final é dada em função de \mathrm{y}_o.

Resposta

\tau_0=\frac{49{,}05}{\sqrt{41}}\,\mathrm{y}_o\\ \mathrm{Pa}\approx 7{,}659\;\mathrm{y}_o\\ \mathrm{Pa}

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