6 Resolver a equação P(x)=6 x^{4}-35 x^{3}-62 x^{2}-35 x+6=0 e, em seguida, obtenha a forma fatorada do polinômio P(x).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação quartica
P(x)=6x^{4}-35x^{3}-62x^{2}-35x+6=0
e em seguida escrever P(x) na forma fatorada. O conteúdo principal aqui é reconhecer que os coeficientes formam um polinômio palindrômico (ou seja, simétrico) e usar a substituição
t = x + \frac1x
para reduzir a ordem do polinômio.

Passo 2

Como os coeficientes de P(x) satisfazem a_{k}=a_{4-k}, podemos escrever
P(x)=6x^{4}-35x^{3}-62x^{2}-35x+6 =x^{2}\Bigl(6x^{2}-35x-62-35x^{-1}+6x^{-2}\Bigr).
Agrupando termos em potências de x+1/x, notamos que
x^2 + x^{-2} = \Bigl(x+\tfrac1x\Bigr)^2 - 2 \quad\text{e}\quad x + x^{-1}=t,
logo dentro dos parênteses aparece
6\bigl(x^2+x^{-2}\bigr)\;-\;35\bigl(x+x^{-1}\bigr)\;-\;62 =6\bigl(t^2-2\bigr) -35t -62.
Portanto
P(x)=x^2\bigl(6t^2 -12 -35t -62\bigr) =x^2\bigl(6t^2 -35t -74\bigr).

Passo 3

Para P(x)=0 (e x\neq0) precisamos resolver a quadrática em t:
6t^2 -35t -74 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
t = \frac{35 \pm \sqrt{35^2 +4\cdot6\cdot74}}{2\cdot6} = \frac{35 \pm \sqrt{1225 +1776}}{12} = \frac{35 \pm \sqrt{3001}}{12}.
Chamemos
t_{1} = \frac{35 + \sqrt{3001}}{12}, \quad t_{2} = \frac{35 - \sqrt{3001}}{12}.

Passo 4

Cada valor de t dá uma equação em x pela identidade t=x+1/x. Isto leva a
x + \frac1x = t_{i} \;\Longrightarrow\; x^{2} - t_{i}\,x + 1 = 0, \quad i=1,2.
As raízes dessa quadrática são
x = \frac{t_{i} \pm \sqrt{t_{i}^{2}-4}}{2}.

Passo 5

Como P(x) tem grau 4 e coeficiente líder 6, obtemos sua fatoração agrupando as duas quadráticas e multiplicando por 6:
P(x) = 6\bigl(x^{2} - t_{1}\,x +1\bigr)\,\bigl(x^{2} - t_{2}\,x +1\bigr)
onde
t_{1} = \frac{35 + \sqrt{3001}}{12}, \quad t_{2} = \frac{35 - \sqrt{3001}}{12}.

Resposta

P(x) =6\Bigl(x^{2} - \frac{35 + \sqrt{3001}}{12}\,x +1\Bigr) \Bigl(x^{2} - \frac{35 - \sqrt{3001}}{12}\,x +1\Bigr).

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