8 Determine a multiplicidade m da raiz r=1 na equação P(x)=x^{5}-2 x^{4}+x^{3}-x^{2}+2 x-1=0

Passo 1

O enunciado pede a multiplicidade m da raiz r=1 do polinômio
P(x)=x^{5}-2x^{4}+x^{3}-x^{2}+2x-1.
Para isso vamos usar o critério de derivadas sucessivas: se
P(1)=P'(1)=\cdots=P^{(m-1)}(1)=0 \quad\text{e}\quad P^{(m)}(1)\neq0,
então a multiplicidade de x=1 é m.

Passo 2

Primeiro confirmamos que P(1)=0 e que a primeira derivada em x=1 também zera.
P(1)=1-2+1-1+2-1=0.
Em seguida
P'(x)=5x^{4}-8x^{3}+3x^{2}-2x+2
e
P'(1)=5-8+3-2+2=0.

Passo 3

Agora avaliamos a segunda e a terceira derivadas em x=1:
P''(x)=20x^{3}-24x^{2}+6x-2, \quad P'''(x)=60x^{2}-48x+6.
Logo
P''(1)=20-24+6-2=0, \quad P'''(1)=60-48+6=18\neq0.
Como a terceira derivada em 1 é a primeira que não zera, concluímos que a multiplicidade é m=3.

Resposta

m=3

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