Resolver as equações diferenciais ou íntegro-diferenciais pela transformada de Laplace, para t >= 0.
y^prime prime-3 y^prime+2 y=4 e^2 t, y(0)=-3 e y^prime(0)=5

Passo 1

Beleza, a gente tem a EDO
y''-3y'+2y=4e^2t, y(0)=-3,;y'(0)=5
Conteúdo: usar a transformada de Laplace pra transformar a EDO em álgebra. Vamos precisar das propriedades
- Ly'=sY(s)-y(0)
- Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)
- Le^at=tfrac1s-a

Passo 2

Aplico L nos dois lados:
Ly''-3 Ly'+2 Ly ;=;4, Le^2t
Substituindo:
l(s^2Y -s,y(0)-y'(0)r);-;3l(sY-y(0)r);+;2Y ;=;4cdot1s-2

Passo 3

Coloca valores iniciais y(0)=-3, y'(0)=5:
l(s^2Y -s(-3)-5r)-3l(sY-(-3)r)+2Y = 4s-2
Desenvolvendo:
s^2Y+3s-5 ;-;3sY-9;+;2Y = 4s-2
Agrupando termos em Y:
(s^2-3s+2)Y + (3s-5-9) = 4s-2
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(s^2-3s+2)Y + (3s-14) = 4s-2

Passo 4

Isolo Y(s):
(s-1)(s-2),Y(s) = 4s-2 - (3s-14)
Y(s) = 4(s-2)^2(s-1) ;-;3s-14(s-1)(s-2)

Passo 5

Fração parcial de 3s-14(s-1)(s-2)
3s-14(s-1)(s-2)=As-1+Bs-2
Resolve-se
3s-14 = A(s-2)+B(s-1);Longrightarrow;A=11,;B=-8
Então
3s-14(s-1)(s-2)=11s-1-8s-2
Agora a parcela 4(s-2)^2(s-1) em frações parciais:
4(s-2)^2(s-1)=Cs-1+Ds-2+E(s-2)^2
Fazendo as contas dá C=4,;D=-4,;E=4.

Passo 6

Reescrevendo tudo:
Y(s)=l(4s-1-4s-2+4(s-2)^2r);-;l(11s-1-8s-2r)
Juntando termos iguais:
Y(s)=-7s-1+4s-2+4(s-2)^2
Agora aplico transformada inversa (tabela):
  • L^-1tfrac1s-a=e^at
  • L^-1tfrac1(s-a)^2=t,e^at

Resposta

boxedy(t) = -7e^t ;+;4e^2t;+;4,t,e^2t

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