Resolver as equações diferenciais ou íntegro-diferenciais pela transformada de Laplace, para t >= 0.
2 d id t+10 i=10 sin 2 t, i(0)=0

Passo 1

Beleza! O exercício pede pra resolver, via transformada de Laplace, a EDO
2,didt + 10,i = 10sin(2t), i(0)=0,;t>=0
Conteúdo: transformada de Laplace, propriedades (derivada, linearidade), frações parciais e tabela de inversão. Vamos precisar:
- Saber que .
- Tabela básica: , , .
- Técnica de fração parcial pra inverter no final.

Passo 2

Aplicando Laplace nos dois lados da EDO:
L2i'(t)+10i(t) =2l[sI(s)-i(0)r]+10I(s) =2sI(s)+10I(s),
pois L10sin(2t) =10cdot2s^2+4 =20s^2+4 .
No lado direito:
I(s),(2s+10)=20s^2+4
Logo temos a equação em :

Passo 3

Isolando I(s) =20(2s+10)(s^2+4) =202l(s+5r)(s^2+4) =10(s+5)(s^2+4) :

Passo 4

Agora fazemos fração parcial:
10(s+5)(s^2+4) =As+5+Bs+Cs^2+4
Multiplicando tudo por 10 = A(s^2+4)+(Bs+C)(s+5) :
I(s) =10/29s+5 +l(-tfrac1029s+tfrac5029r)s^2+4
Expandindo e igualando coeficientes:
s^2:
s:
constante: .
Resolvendo:

Logo

Passo 5

Invertemos cada termo usando a tabela:
i(t) =1029e^-5t -1029cos(2t) +5029cdot12sin(2t) =1029e^-5t-1029cos(2t)+2529sin(2t) ,
,
.
Então

Resposta

boxedi(t)=1029,e^-5t-1029cos(2t)+2529sin(2t)

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