Resolver as equações diferenciais ou íntegro-diferenciais pela transformada de Laplace, para
.
Passo 1
Beleza! O exercício pede pra resolver, via transformada de Laplace, a EDO
Conteúdo: transformada de Laplace, propriedades (derivada, linearidade), frações parciais e tabela de inversão. Vamos precisar:
- Saber que
- Tabela básica:
- Técnica de fração parcial pra inverter no final.
Passo 2
Aplicando Laplace nos dois lados da EDO:
pois
.
No lado direito:
No lado direito:
Logo temos a equação em
:
Passo 3
Isolando
:
Passo 4
Agora fazemos fração parcial:
Multiplicando tudo por
:
Expandindo e igualando coeficientes:
s^2:
s:
constante: .
Resolvendo:
Logo
s^2:
s:
constante:
Resolvendo:
Logo
Passo 5
Invertemos cada termo usando a tabela:
,
,
.
Então
Então