Resolver as equações diferenciais ou íntegro-diferenciais pela transformada de Laplace, para
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra resolver a EDO
usando transformada de Laplace. Isso é parte de Equações Diferenciais e Transformadas de Laplace. Vamos precisar lembrar
1)
2) tabela básica (
3) fracionamento parcial e inversão de Laplace.
Passo 2
Aplico Laplace em cada termo da EDO. Como
,
Logo a equação no domínio de
Passo 3
Isolo
:
Repare que
Passo 4
Faço frações parciais no formato
Resolvendo para
Então
$$Q(s)=-\frac{75}{52}\frac{s}{s2+9}+\frac{75}{26}\frac{1}{s2+9}
+\frac{75}{52}\frac{s+4}{(s+4)2+9}+\frac{75}{26}\frac{1}{(s+4)2+9}.$$
Passo 5
Aplico inversa de Laplace termo a termo:
Somando tudo,
$$q(t)=-\frac{75}{52}\cos(3t)+\frac{75}{26}\cdot\frac{\sin(3t)}{3}
+\frac{75}{52}e{-4t}\cos(3t)+\frac{75}{26}\cdot\frac{e{-4t}\sin(3t)}{3}.$$
Resposta
Simplificando, a solução fica