Resolver as equações diferenciais ou íntegro-diferenciais pela transformada de Laplace, para t >= 0.
d^2 qd t^2+8 d qd t+25 q=50 sin 3 t, q(0)=q^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver a EDO
d^2qdt^2+8dqdt+25q=50sin(3t), q(0)=q'(0)=0
usando transformada de Laplace. Isso é parte de Equações Diferenciais e Transformadas de Laplace. Vamos precisar lembrar
1) Lq'(t)=sQ(s)-q(0) e Lq''(t)=s^2Q(s)-sq(0)-q'(0),
2) tabela básica ( Lsin(at)=a/(s^2+a^2), etc.),
3) fracionamento parcial e inversão de Laplace.

Passo 2

Aplico Laplace em cada termo da EDO. Como q(0)=q'(0)=0,
Lq''=s^2Q(s), L8q'=8sQ(s), L25q=25Q(s),
L50sin(3t)=50cdot3s^2+9=150s^2+9
Logo a equação no domínio de s é
(s^2+8s+25),Q(s)=150s^2+9,

Passo 3

Isolo Q(s):
Q(s)=150(s^2+9)(s^2+8s+25),
Repare que s^2+8s+25=(s+4)^2+9, facilitando a inversão depois.

Passo 4

Faço frações parciais no formato
150(s^2+9)[(s+4)^2+9]=As+Bs^2+9+C(s+4)+D(s+4)^2+9
Resolvendo para A,B,C,D
A=-7552,;B=7526,;C=7552,;D=7526
Então
$$Q(s)=-\frac{75}{52}\frac{s}{s2+9}+\frac{75}{26}\frac{1}{s2+9}
+\frac{75}{52}\frac{s+4}{(s+4)2+9}+\frac{75}{26}\frac{1}{(s+4)2+9}.$$

Passo 5

Aplico inversa de Laplace termo a termo:
  • L^-1tfracss^2+9=cos(3t)
  • L^-1tfrac1s^2+9=tfrac13sin(3t)
  • L^-1tfracs+4(s+4)^2+9=e^-4tcos(3t)
  • L^-1tfrac1(s+4)^2+9=tfrac13e^-4tsin(3t)
Somando tudo,
$$q(t)=-\frac{75}{52}\cos(3t)+\frac{75}{26}\cdot\frac{\sin(3t)}{3}
+\frac{75}{52}e{-4t}\cos(3t)+\frac{75}{26}\cdot\frac{e{-4t}\sin(3t)}{3}.$$

Resposta

Simplificando, a solução fica
boxed q(t)=7552l(e^-4t-1r)cos(3t);+;2526l(1+e^-4tr)sin(3t),

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