Resolver as equações diferenciais:
Num sistema massa-mola tem-se a equação:
Achar a solução da equação, dadas as condições:
Num sistema massa-mola tem-se a equação:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial segunda-ordem não homogênea
com condições iniciais
Pergunta: encontrar a solução
que satisfaz essa equação e essas condições. Dados relevantes: o coeficiente de amortecimento é
(ou seja
), o termo force é
e as condições iniciais em
.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
Usamos a equação característica substituindo
. Isso dá
Aplicando a fórmula quadrática:
Como o discriminante é negativo, temos raízes complexas. É conveniente escrever
e notar que
Assim as raízes são
Quando as raízes são
, a solução homogênea é
Aqui
representa a taxa de decaimento exponencial (amortecimento) e
é a frequência angular oscilatória (em rad/s). Portanto
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para o termo forçante
. Como o forçante é combinação de
e
, usamos o método dos coeficientes indeterminados tentando
onde
e
são constantes a determinar. Calculamos derivadas:
Substituímos na equação original (lado esquerdo):
Agrupando termos em
e
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Logo o lado esquerdo fica
. Isso deve ser igual ao lado direito
. Igualando coeficientes:
Daqui vem
Portanto a solução particular é
Passo 4
A solução geral da equação não homogênea é soma da homogênea com a particular:
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeira condição:
. Avaliando
:
Logo
Segunda condição:
. Precisamos da derivada
. Derivando a parte homogênea com regra do produto:
onde
. A derivada da parte particular é
Avaliamo tudo em
. Como
e
, obtemos
Impondo
:
Já sabemos
, então
Passando termos,
Portanto
Substituindo
dá
então
(Isto é uma forma exata; numericamente
e
.)
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais: