Resolver as equações diferenciais:
Num sistema massa-mola tem-se a equação:
u^{\prime \prime}+0,125 u^{\prime}+u=3 \cdot \cos (t)
Achar a solução da equação, dadas as condições:
u(0)=2 \quad e \quad u^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial segunda-ordem não homogênea
u^{\prime\prime}+0,125\,u^{\prime}+u=3\cos(t)
com condições iniciais
u(0)=2,\qquad u^{\prime}(0)=0.
Pergunta: encontrar a solução u(t) que satisfaz essa equação e essas condições. Dados relevantes: o coeficiente de amortecimento é 0,125 (ou seja 1/8), o termo force é 3\cos(t) e as condições iniciais em t=0.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
u^{\prime\prime}+0,125\,u^{\prime}+u=0.
Usamos a equação característica substituindo u(t)=e^{rt}. Isso dá
r^{2}+0,125\,r+1=0.
Aplicando a fórmula quadrática:
r=\frac{-0,125\pm\sqrt{0,125^{2}-4\cdot1\cdot1}}{2} =\frac{-0,125\pm\sqrt{-3,984375}}{2}.
Como o discriminante é negativo, temos raízes complexas. É conveniente escrever 0,125=\tfrac{1}{8} e notar que
\sqrt{3,984375}=\sqrt{\tfrac{255}{64}}=\frac{\sqrt{255}}{8}.
Assim as raízes são
r=-\frac{1}{16}\pm i\frac{\sqrt{255}}{16}.
Quando as raízes são r=\alpha\pm i\omega, a solução homogênea é
u_h(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)\big).
Aqui \alpha=-\tfrac{1}{16} representa a taxa de decaimento exponencial (amortecimento) e \omega=\tfrac{\sqrt{255}}{16} é a frequência angular oscilatória (em rad/s). Portanto
u_h(t)=e^{-t/16}\big(C_{1}\cos\big(\tfrac{\sqrt{255}}{16}t\big)+C_{2}\sin\big(\tfrac{\sqrt{255}}{16}t\big)\big).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular u_p(t) para o termo forçante 3\cos(t). Como o forçante é combinação de \cos(t) e \sin(t), usamos o método dos coeficientes indeterminados tentando
u_p(t)=A\cos(t)+B\sin(t),
onde A e B são constantes a determinar. Calculamos derivadas:
u_p'(t)=-A\sin(t)+B\cos(t), \qquad u_p''(t)=-A\cos(t)-B\sin(t).
Substituímos na equação original (lado esquerdo):
u_p''+0,125\,u_p'+u_p = (-A\cos-B\sin)+0,125(-A\sin+B\cos)+(A\cos+B\sin).
Agrupando termos em \cos(t) e \sin(t):
  • Coeficiente de \cos(t):
(-A)+0,125B+(A)=0,125B.
  • Coeficiente de \sin(t):
(-B)-0,125A+(B)=-0,125A.
Logo o lado esquerdo fica 0,125B\cos(t)-0,125A\sin(t). Isso deve ser igual ao lado direito 3\cos(t)+0\sin(t). Igualando coeficientes:
0,125B=3,\qquad -0,125A=0.
Daqui vem
B=\frac{3}{0,125}=24,\qquad A=0.
Portanto a solução particular é
u_p(t)=24\sin(t).

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é soma da homogênea com a particular:
u(t)=u_h(t)+u_p(t) = e^{-t/16}\big(C_{1}\cos\big(\tfrac{\sqrt{255}}{16}t\big)+C_{2}\sin\big(\tfrac{\sqrt{255}}{16}t\big)\big)+24\sin(t).

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeira condição: u(0)=2. Avaliando u(0):
u(0)=e^{0}\big(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\big)+24\sin 0 = C_{1}.
Logo
C_{1}=2.
Segunda condição: u'(0)=0. Precisamos da derivada u'(t). Derivando a parte homogênea com regra do produto:
\frac{d}{dt}\big[e^{-t/16}(C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t))\big] = e^{-t/16}\big(-\tfrac{1}{16}(C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)) + (-C_{1}\omega\sin(\omega t)+C_{2}\omega\cos(\omega t))\big),
onde \omega=\tfrac{\sqrt{255}}{16}. A derivada da parte particular é
\frac{d}{dt}[24\sin(t)]=24\cos(t).
Avaliamo tudo em t=0. Como \cos 0=1 e \sin 0=0, obtemos
u'(0)=\big(-\tfrac{1}{16}C_{1}+C_{2}\omega\big)+24.
Impondo u'(0)=0:
-\tfrac{1}{16}C_{1}+C_{2}\omega+24=0.
Já sabemos C_{1}=2, então
-\tfrac{1}{16}\cdot 2 + C_{2}\omega +24=0 \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{1}{8}+C_{2}\omega +24=0.
Passando termos,
C_{2}\omega = -24+\tfrac{1}{8} = -\tfrac{191}{8}.
Portanto
C_{2} = -\frac{191}{8\omega}.
Substituindo \omega=\tfrac{\sqrt{255}}{16}
8\omega = 8\cdot\frac{\sqrt{255}}{16}=\frac{\sqrt{255}}{2},
então
C_{2} = -\frac{191}{\sqrt{255}/2} = -\frac{382}{\sqrt{255}}.
(Isto é uma forma exata; numericamente \omega\approx0,99805 e C_{2}\approx -23,93.)

Passo 6

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
u(t)=e^{-t/16}\!\left(2\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{255}}{16}t\big)-\frac{382}{\sqrt{255}}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{255}}{16}t\big)\right)+24\sin(t).

Resposta

u(t)=e^{-t/16}\!\left(2\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{255}}{16}t\big)-\frac{382}{\sqrt{255}}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{255}}{16}t\big)\right)+24\sin(t)

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