Resolver as equações diferenciais:
A equação diferencial para a carga instantânea q(t) no capacitor em um circuito em série é dada por: L \frac{d^{2} q}{d t^{2}}+R \frac{d q}{d t}+\frac{1}{C} q=E(t) ; um circuito em série contém um indutor, um resistor e um capacitor para os quais L=1 henry, R=10 ohms e C=0,01 farad, respectivamente. A voltagem:
E(t)=\left\{\begin{array}{c}10,0 \leq t<3 \\\\ 0, t \geq 3\end{array}\right.
Considerando q(0)=0 e q^{\prime}(0)=0, qual é a carga q(t) conforme a situação exposta acima.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a carga q(t)\) em um capacitor num circuito série governado pela equação
\[L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=E(t),
O que devemos fornecer é q(t)\] para todos \(t\ge 0, ou seja, a solução no intervalo 0\le t<3 (força constante 10) e no intervalo t\ge 3 (força nula), obedecendo continuidade de q e q' em t=3.]
Passo 2
Primeiro simplificamos a equação com os valores dados. Como L=1 e 1/C=100 (porque C=0{,}01), a equação fica
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+10\frac{dq}{dt}+100q=E(t).
A equação homogênea associada é
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+10\frac{dq}{dt}+100q=0.
Procuramos soluções da forma q(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+10r+100=0.
Calculamos as raízes:
\Delta=10^{2}-4\cdot1\cdot100=100-400=-300<0,
logo raízes complexas conjugadas:
r=-5\pm i\,5\sqrt{3}.
Isto significa que a solução homogênea é um decaimento exponencial multiplicando uma oscilação. Definimos a frequência amortecida
\omega=5\sqrt{3}.
Então a solução geral homogênea pode ser escrita como
Agora achamos uma solução particular para cada intervalo de E(t).
Para 0\le t<3 temos E(t)=10 (constante). Para força constante, procuramos solução particular constante q_p. Se q_p é constante, q_p''=q_p'=0, então a equação dá
Para t\ge 3 a força é E(t)=0, então a equação é homogênea. Temos que usar as condições em t=3 (continuidade de q e q') para iniciar a solução livre a partir de t=3. Calculamos primeiro q(3) e q'(3) usando a expressão do intervalo anterior.
Agora calculamos q'(3). Usamos a fórmula do Passo 4 com A=-0{,}1 e B=-\dfrac{1}{10\sqrt{3}}. Ao avaliar f'(t) em t=3 e simplificar (os termos em \cos se cancelam como mostra a álgebra), obtemos a forma simples
(Se quiser verificar os passos algébricos: a soma dos termos em \cos se anula e os coeficientes das funções \sin somam-se para dar \dfrac{2}{\sqrt{3}}e^{-15}\sin(15\sqrt{3}).)
Passo 7
Para t\ge 3 resolvemos a homogênea com as condições iniciais q(3) e q'(3). A solução homogênea geral, deslocada para t\ge 3, é
(Detalhes da simplificação: computa-se q'(3)+5C e divide-se por \omega=5\sqrt{3}; a álgebra leva ao termo constante \dfrac{1}{10\sqrt{3}} mais um termo proporcional a e^{-15}.)
Passo 8
Concluímos juntando as parcelas. A solução completa, escrita de forma clara e pronta para uso em prova, é dada por duas expressões, uma para 0\le t<3 e outra para t\ge 3.