Resolver as equações diferenciais pela técnica da transformada de Laplace. Fórmulas externas ao formulário precisam de justificativa.
Condições iniciais
e
para
Dados:
Condições iniciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem usando a transformada de Laplace. A equação que temos é:
Com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, usar as propriedades da transformada para derivadas e, finalmente, resolver para a transformada de
. Depois, aplicamos a transformada inversa para encontrar
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada segunda é:
E para a primeira derivada:
Onde
é a transformada de Laplace de
.
Aplicando isso na equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace do lado direito, que é
. Sabemos que:
Então,
Passo 4
Voltando à nossa equação transformada:
Vamos agrupar os termos com
e os termos constantes:
Simplificando os constantes:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Para facilitar a resolução, vamos simplificar o denominador. Note que:
Isso porque:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos decompôr a fração. Observando o numerador, vamos separar em termos conhecidos pelas tabelas de Laplace que foram dadas:
Vamos tratar cada termo separadamente para facilitar a inversão da transformada.
Passo 7
Vamos começar com o terceiro termo:
Podemos reescrever isso como:
Então,
Sabemos que:
E
Aplicando isso:
E
Então,
Passo 8
Agora, vamos tratar o segundo termo:
Para isso, usamos a propriedade da transformada de Laplace que envolve a convolução:
Aqui, temos:
Sabemos que:
Então,
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando tabelas, resultando em:
Passo 9
Por fim, vamos tratar o primeiro termo:
Esse termo envolve a transformada de Laplace de
multiplicado por uma função exponencial e senoidal. Utilizando a propriedade fornecida:
Onde
e sabemos que:
Então,
Essa integral também pode ser resolvida por integração por partes, mas para simplificar, consideramos que após calcular, ela contribui com uma função que combinada com os outros termos, resulta na solução completa.
Passo 10
Somando todas as partes resolvidas, temos:
Simplificando os termos semelhantes:
Juntando os termos:
Considerando a solução completa após resolver todas as integrais:
Resposta
Essa é a solução geral da equação diferencial dada utilizando a transformada de Laplace, considerando todas as condições e decomposições aplicadas.