Calcular a área da regiâo interior às curvas de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está dentro das curvas dadas por
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e cálculo de integrais para encontrar a área entre essas duas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que temos:
-
: Podemos rearranjar essa equação para . Essa é uma circunferência com raio constante de , centrada na origem. -
: Essa é uma curva conhecida como cardioide, que tem um formato de coração. Ela varia conforme varia de 0 a .
Passo 3
Para encontrar a área da região entre essas duas curvas, precisamos determinar os pontos onde elas se intersectam. Isso vai nos ajudar a definir os limites de integração.
Igualando as duas equações:
Vamos resolver para
:
Sabemos que
quando
ou
.
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos visualizar quais áreas precisamos calcular. A área entre duas curvas em coordenadas polares é dada pela fórmula:
Nesse caso,
e
, e os limites de integração são
a
.
Passo 5
Vamos montar a integral para calcular a área:
Primeiro, calculamos os quadrados:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
-
-
-
: Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 7
Substituindo as integrais na expressão da área:
Passo 8
Agora, avaliamos essa expressão nos limites superiores e inferiores e subtraímos:
Primeiro, para
:
Segundo, para
:
Subtraindo:
Passo 9
Multiplicando pelo
:
Resposta
A área da região interior às curvas é
unidades de área.