Calcular a área da regiâo interior às curvas de 2 r=3 e r=1+cos theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que está dentro das curvas dadas por e . Para isso, vamos usar conhecimentos de coordenadas polares e cálculo de integrais para encontrar a área entre essas duas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que temos:
  1. : Podemos rearranjar essa equação para . Essa é uma circunferência com raio constante de , centrada na origem.
  2. : Essa é uma curva conhecida como cardioide, que tem um formato de coração. Ela varia conforme varia de 0 a .

Passo 3

Para encontrar a área da região entre essas duas curvas, precisamos determinar os pontos onde elas se intersectam. Isso vai nos ajudar a definir os limites de integração.
Igualando as duas equações:
32 = 1 + cos theta
Vamos resolver para cos theta = 32 - 1 = 12 :
Sabemos que quando ou .

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos visualizar quais áreas precisamos calcular. A área entre duas curvas em coordenadas polares é dada pela fórmula:
Área = 12 integralalpha^beta (rexterno^2 - rinterno^2) , dtheta Á
Nesse caso, e , e os limites de integração são a .

Passo 5

Vamos montar a integral para calcular a área:
Área = 12 integralpi3^5pi3 ( (32)^2 - (1 + cos theta)^2 ) dtheta Á
Primeiro, calculamos os quadrados:
(32)^2 = 94
(1 + cos theta)^2 = 1 + 2cos theta + cos^2 theta
Substituindo na integral:
Área = 12 integralpi3^5pi3 ( 94 - 1 - 2cos theta - cos^2 theta ) dtheta Á
Área = 12 integralpi3^5pi3 ( 54 - 2cos theta - cos^2 theta ) dtheta Á

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
  1. cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
  2. integral cos^2 theta , dtheta = integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = theta2 + sin 2theta4
  3. : Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Então,

Passo 7

Substituindo as integrais na expressão da área:
Área = 12 [ 54 theta - 2sin theta - ( theta2 + sin 2theta4 ) ]pi3^5pi3 Á
Área = 12 [ 54 theta - 2sin theta - theta2 - sin 2theta4 ]pi3^5pi3 Á
Área = 12 [ 5theta4 - theta2 - 2sin theta - sin 2theta4 ]pi3^5pi3 Á
Área = 12 [ 5theta - 2theta4 - 2sin theta - sin 2theta4 ]pi3^5pi3 Á
Área = 12 [ 3theta4 - 2sin theta - sin 2theta4 ]pi3^5pi3 Á

Passo 8

Agora, avaliamos essa expressão nos limites superiores e inferiores e subtraímos:
Primeiro, para 3 cdot 5pi34 - 2sin(5pi3) - sin(10pi3)4 = 5pi4 - 2(-raiz32) - sin(4pi3)4 = 5pi4 + raiz3 - (-raiz34) = 5pi4 + 5raiz34 :
3 cdot pi34 - 2sin(pi3) - sin(2pi3)4 = pi4 - 2(raiz32) - raiz324 = pi4 - raiz3 - raiz38 = pi4 - 9raiz38
Segundo, para ( 5pi4 + 5raiz34 ) - ( pi4 - 9raiz38 ) = 4pi4 + 5raiz34 + 9raiz38 = pi + 10raiz38 + 9raiz38 = pi + 19raiz38 :
Subtraindo:

Passo 9

Multiplicando pelo Área = 12 ( pi + 19raiz38 ) = pi2 + 19raiz316 :
Á

Resposta

A área da região interior às curvas é unidades de área.

Exercícios relacionados