Resolver as equações:
\ln |2 x+1|=-2,

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\ln\lvert 2x + 1\rvert = -2.
O conteúdo aqui é manipular logaritmo natural e valor absoluto. Vamos usar a propriedade de que, para todo y,
\ln\lvert y\rvert = a \quad\Longrightarrow\quad \lvert y\rvert = e^{a}.

Passo 2

Aplicando exponencial dos dois lados em \ln\lvert 2x+1\rvert = -2, obtemos
\lvert 2x+1\rvert = e^{-2}.

Passo 3

A equação \lvert 2x+1\rvert = e^{-2} se separa em dois casos:
2x + 1 = e^{-2} \quad\text{ou}\quad 2x + 1 = -\,e^{-2}.

Passo 4

Agora resolvemos cada caso para x:
  1. Se 2x + 1 = e^{-2}, então
    2x = e^{-2} - 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{e^{-2} - 1}{2}.
  2. Se 2x + 1 = -\,e^{-2}, então
    2x = -\,e^{-2} - 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{-\,e^{-2} - 1}{2}.

Resposta

x = \frac{e^{-2} - 1}{2} \quad\text{ou}\quad x = \frac{-\,e^{-2} - 1}{2}.

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