Resolver as equações polinomiais
; determine as raízes pelo método de Ruffini. Faça um gráfico aproximado da função polinomial
.
(2)
.
(2)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação polinomial
, onde
, usando o método de Ruffini, e depois fazer um esboço aproximado do gráfico de
. Vamos precisar do teste de raízes racionais e da divisão sintética para fatorar o polinômio.
Passo 2
Para encontrar raízes racionais, aplicamos o teste de possíveis raízes ± divisores de 8 sobre divisores de 1, ou seja, ±1, ±2, ±4, ±8. Avaliando
temos:
. Logo,
é raiz de
.
Usamos divisão sintética de por
. Coeficientes: 1, -2, -4, 8. Aplicando Ruffini com 2, obtemos o quociente de grau 2 com coeficientes 1, 0, -4, isto é,
, e resto 0.
Usamos divisão sintética de
Passo 3
Resolvendo
obtemos
. Portanto as raízes de
são
e
. Note que
aparece duas vezes, ou seja, é raiz de multiplicidade 2.
Passo 4
Para esboçar o gráfico de
, observamos que é um polinômio de grau 3 com coeficiente líder positivo, então
quando
e
quando
. Em
a curva cruza o eixo
. Em
temos raiz dupla, logo a curva toca o eixo
e volta para valores positivos. O ponto
é o intercepto em
.
Juntando tudo, traçamos o eixo e o eixo
, marcamos raízes em
(cruzamento) e
(toque e retorno), e o ponto
. Ligamos os segmentos para obedecer o comportamento de cúbica: vindo de baixo à esquerda, cruza em
, atinge um máximo, desce tocando em
e sobe para a direita.
Juntando tudo, traçamos o eixo
Resposta
As raízes são x=-2 (simples) e x=2 (multiplicidade 2). O gráfico de y = x³ - 2x² - 4x + 8 cruza o eixo x em (-2,0), toca e retorna em (2,0), tem intercepto em y em (0,8), cai para -∞ à esquerda e sobe para +∞ à direita.