Resolver as equações polinomiais p(x)=0; determine as raízes pelo método de Ruffini. Faça um gráfico aproximado da função polinomial y=p(x).
(2) p(x)=x^3-2 x^2-4 x+8.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação polinomial p(x)=0, onde p(x)=x^3-2x^2-4x+8, usando o método de Ruffini, e depois fazer um esboço aproximado do gráfico de y=p(x). Vamos precisar do teste de raízes racionais e da divisão sintética para fatorar o polinômio.

Passo 2

Para encontrar raízes racionais, aplicamos o teste de possíveis raízes ± divisores de 8 sobre divisores de 1, ou seja, ±1, ±2, ±4, ±8. Avaliando p(2) temos: p(2)=2^3-2cdot2^2-4cdot2+8=8-8-8+8=0. Logo, x=2 é raiz de p(x).
Usamos divisão sintética de p(x) por x-2. Coeficientes: 1, -2, -4, 8. Aplicando Ruffini com 2, obtemos o quociente de grau 2 com coeficientes 1, 0, -4, isto é, x^2-4, e resto 0.

Passo 3

Resolvendo x^2-4=0 obtemos x=pm2. Portanto as raízes de p(x) são x=-2 e x=2. Note que x=2 aparece duas vezes, ou seja, é raiz de multiplicidade 2.

Passo 4

Para esboçar o gráfico de y=p(x), observamos que é um polinômio de grau 3 com coeficiente líder positivo, então yto-infty quando xto-infty e yto+infty quando xto+infty. Em x=-2 a curva cruza o eixo x. Em x=2 temos raiz dupla, logo a curva toca o eixo x e volta para valores positivos. O ponto (0,8) é o intercepto em y.
Juntando tudo, traçamos o eixo x e o eixo y, marcamos raízes em -2,0 (cruzamento) e (2,0) (toque e retorno), e o ponto (0,8). Ligamos os segmentos para obedecer o comportamento de cúbica: vindo de baixo à esquerda, cruza em -2, atinge um máximo, desce tocando em 2 e sobe para a direita.

Resposta

As raízes são x=-2 (simples) e x=2 (multiplicidade 2). O gráfico de y = x³ - 2x² - 4x + 8 cruza o eixo x em (-2,0), toca e retorna em (2,0), tem intercepto em y em (0,8), cai para -∞ à esquerda e sobe para +∞ à direita.

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