Usando o método de redução de ordem, ache a solução geral de cada edo. Uma solução de edo homogênea é dada.
x^2 y^prime prime-x y^prime+y=0(x>0), y1=x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem x^2y''-xy'+y=0 no intervalo x>0, sabendo que uma solução é y1=x. Vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução e, assim, a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão dividindo tudo por x^2:
y'' - 1xy' + 1x^2y = 0

Passo 3

Em seguida, propomos uma segunda solução da forma y2=v(x)y1=v(x),x. Calculamos as derivadas:
y2' = v',x + v,
y2'' = v'',x + 2v'

Passo 4

Substituímos na forma padrão da EDO:
(v''x + 2v') - 1x(v'x + v) + 1x^2(vx) = 0 Ao simplificar, os termos em v/x se cancelam e sobra
xv'' + v' = 0

Passo 5

Fazemos w = v', obtendo uma EDO de primeira ordem:
xw' + w = 0 Esta equação é separável:
dww = -dxx implies w = C1x

Passo 6

Integramos para achar v:
v = C1ln x + C2 Logo, a segunda solução é y2=v,x = xln x (podemos incorporar C2x na solução já conhecida y1=x).

Resposta

A solução geral é y = C1x + C2xln x.

Exercícios relacionados