Resolver os exercícios 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.2, página 172 e 173. Derive:
(15) y = t^2 / (3 t^2 - 2 t + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a derivada da função . O conteúdo principal aqui é o Cálculo da derivada usando a Regra do Quociente. Para isso, vamos precisar identificar o numerador e o denominador da fração e aplicar a fórmula da derivada dessa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função :
  • Numerador (u):
  • Denominador (v):

Passo 3

Agora, vamos relembrar a Regra do Quociente para derivadas. Se temos uma função , a derivada é dada por:
Isso significa que precisamos derivar o numerador ( ) e o denominador ( ) separadamente.

Passo 4

Vamos calcular e :
  • Derivada do numerador ( ):
  • Derivada do denominador ( ):

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Quociente substituindo , , e :
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
  1. Multiplicando por :
    Então,
  2. Multiplicando por :
    Então,
  3. Subtraindo os dois resultados:
Então, o numerador simplificado é .

Passo 6

Substituindo o numerador simplificado de volta na expressão da derivada:
Podemos fatorar o numerador para simplificar um pouco mais:
Então, a derivada final fica:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados