Resolver os exercícios 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.2, página 172 e 173. Derive:
(15)
(15)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a derivada da função
. O conteúdo principal aqui é o Cálculo da derivada usando a Regra do Quociente. Para isso, vamos precisar identificar o numerador e o denominador da fração e aplicar a fórmula da derivada dessa regra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função
:
- Numerador (u):
- Denominador (v):
Passo 3
Agora, vamos relembrar a Regra do Quociente para derivadas. Se temos uma função
, a derivada
é dada por:
Isso significa que precisamos derivar o numerador (
) e o denominador (
) separadamente.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
-
Derivada do numerador (
): -
Derivada do denominador (
):
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra do Quociente substituindo
,
,
e
:
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
-
Multiplicando
por : Então, -
Multiplicando
por : Então, -
Subtraindo os dois resultados:
Então, o numerador simplificado é
.
Passo 6
Substituindo o numerador simplificado de volta na expressão da derivada:
Podemos fatorar o numerador para simplificar um pouco mais:
Então, a derivada final fica:
Resposta
A derivada da função
é: