Resolver em função de k cada um dos sistemas seguintes:
\left(\begin{array}{cc}k & 2 \\\\ 2 & -4\end{array}\right)\binom{x}{y}=\binom{3}{-6}

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear 2\times 2 com parâmetro k:
\begin{cases} k\,x + 2\,y = 3,\\\\ 2\,x - 4\,y = -6.
O conteúdo aqui é determinação de solução de sistema linear usando determinante (regra de Cramer) e análise de caso singular.

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
\Delta = \det\begin{pmatrix}k & 2 \\[6pt] 2 & -4\end{pmatrix} = k\cdot(-4) - 2\cdot2 = -4k - 4 = -4\,(k+1).
Se \Delta \neq 0 (ou seja, k \neq -1), o sistema tem solução única. Se \Delta = 0 (ou seja, k = -1), o sistema pode ser indeterminado ou impossível.]

Passo 3

Para k \neq -1, aplicamos a regra de Cramer:
Determinante para x:
\Delta_x = \det\begin{pmatrix}3 & 2 \\[3pt] -6 & -4\end{pmatrix} = 3\cdot(-4) - 2\cdot(-6) = -12 + 12 = 0,
portanto
x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{0}{-4\,(k+1)} = 0.
Determinante para y:
\Delta_y = \det\begin{pmatrix}k & 3 \\[3pt] 2 & -6\end{pmatrix} = k\cdot(-6) - 3\cdot2 = -6k - 6 = -6\,(k+1),
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y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-6\,(k+1)}{-4\,(k+1)} = \frac{3}{2}.
Assim, para k \neq -1 a solução é
(x,y) = \bigl(0,\tfrac{3}{2}\bigr).]

Passo 4

Para k = -1\), temos \(\Delta=0\) e o sistema fica \[\begin{cases} -1\cdot x + 2\,y = 3,\\\\ 2\,x - 4\,y = -6. \end{cases}
A segunda equação é exatamente -2\] vezes a primeira, ou seja, elas não são independentes. Isso implica que o sistema é indeterminado e admite infinitas soluções. Da primeira equação: \[-x + 2y = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = 2y - 3,\] onde \(y é parâmetro livre em \mathbb{R}.

Resposta

Para k \neq -1:
(x,y) = \Bigl(0,\tfrac{3}{2}\Bigr).
Para k = -1:
\{(x,y)\mid x = 2y - 3,\;y\in\mathbb{R}\}.

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