Resolver os itens abaixo considerando a equação y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=9 x+e^{x}.
(a) Encontrar as soluções fundamentais da equação homogênea associada;
(b) Usando o método dos coeficientes a determinar, encontrar uma solução particular y_p para a equação não homogênea dada inicialmente e sua solução geral.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Enunciado: resolver a equação diferencial
y''-4y'+3y=9x+e^{x}.
  • Perguntas:
    (a) Encontrar as soluções fundamentais da equação homogênea associada.
    (b) Usando o método dos coeficientes a determinar, encontrar uma solução particular y_p da equação não homogênea e escrever a solução geral.
  • Informações relevantes dadas (que vamos usar):
    • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
    • O termo não homogêneo (lado direito) é a soma de um polinômio de grau 1 (isto é, 9x) e de uma função exponencial e^{x}.
    • Para o método dos coeficientes a determinar: para cada tipo de termo do lado direito escolhemos uma forma tentativa com coeficientes desconhecidos; se a forma tentativa coincidir com solução da homogênea, multiplicamos por x o número mínimo de vezes para eliminar a coincidência (resonância).

Passo 2

Resolver a homogênea: encontrar as soluções fundamentais.
A equação homogênea associada é
y''-4y'+3y=0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtém-se a equação característica
r^{2}-4r+3=0.
Resolvendo a quadrática:
r^{2}-4r+3=(r-1)(r-3)=0,
portanto as raízes são r=1 e r=3, distintas. Para raízes reais e distintas, as soluções fundamentais são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=e^{3x}.
Essas duas funções são linearmente independentes (raízes distintas garantem isso), então a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolher a forma tentativa y_p pelo método dos coeficientes a determinar.
Explicando a ideia (passo-a-passo e com calma):
  • Para um termo polinomial de grau n (aqui 9x, grau 1), a tentativa padrão é um polinômio de grau 1, isto é Ax+B, com A,B desconhecidos.
  • Para um termo e^{\alpha x} (aqui e^{x}, com \alpha=1), a tentativa padrão é D e^{\alpha x}. Porém, se e^{\alpha x} já é solução da homogênea (isto é, se \alpha é raiz da equação característica), então há ressonância: é preciso multiplicar a tentativa por x^{s}, com s igual à multiplicidade da raiz em excesso, para garantir independência. Aqui \alpha=1 é raiz simples da característica (multiplicidade 1), logo multiplicamos por x uma vez: a tentativa para a parte exponencial será C x e^{x} (usei C em vez de D para evitar confusão).
  • Como o lado direito é soma de duas funções, podemos somar as tentativas correspondentes. Assim tomamos como tentativa geral
y_{p}(x)=Ax+B+Cx e^{x},
com A,B,C desconhecidos a determinar.

Passo 4

Calcular y_p',y_p'' detalhadamente.
Começando por y_p(x)=Ax+B+Cx e^{x}.
  • Derivada do polinômio Ax+B: (Ax+B)'=A,\qquad (Ax+B)''=0.
  • Para u(x)=Cx e^{x} usamos a regra do produto: u'(x)=C e^{x}+C x e^{x}=C e^{x}(1+x),
u''(x)=\frac{d}{dx}\big(C e^{x}(1+x)\big)=C e^{x}(1+x)+C e^{x}=C e^{x}(2+x).
Somando as partes:
y_{p}'(x)=A + C e^{x}(1+x),
y_{p}''(x)=0 + C e^{x}(2+x)=C e^{x}(2+x).

Passo 5

Substituir y_p,y_p',y_p'' na equação e agrupar termos por tipo.
A equação é
y''-4y'+3y=9x+e^{x}.
Substituindo y_p e suas derivadas:
y_{p}''-4y_{p}'+3y_{p} = \big[C e^{x}(2+x)\big] -4\big[A + C e^{x}(1+x)\big] +3\big[Ax+B+Cx e^{x}\big].
Agora agrupamos separando a parte polinomial (em x) da parte que envolve e^{x}.
Primeiro, os termos sem fator e^{x} (vêm da parte polinomial):
  • Da expressão acima, os termos polinomiais são: -4A +3(Ax+B) = 3A x +(-4A+3B).
Segundo, os termos com e^{x} (vêm da parte Cx e^{x}):
  • Coletando coeficientes de e^{x}: C(2+x) -4C(1+x) +3C x = C\big((2+x)-4(1+x)+3x\big).
Calcule o parêntese:
(2+x)-4-4x+3x = (2-4) + (x-4x+3x) = -2 + 0\cdot x = -2.
Portanto a contribuição exponencial é simplesmente
-2C e^{x}.
Assim o lado esquerdo fica
y_{p}''-4y_{p}'+3y_{p} = 3A x +(-4A+3B) -2C e^{x}.

Passo 6

Equacionar coeficientes com o lado direito 9x+e^{x} e resolver para A,B,C.
Comparando
3A x +(-4A+3B) -2C e^{x} \equiv 9x + 1\cdot e^{x},
devemos igualar coeficientes dos termos independentes: do x, do termo constante (polinomial) e do e^{x}.
  • Coeficiente de x: 3A = 9 \quad\Rightarrow\quad A=3.
  • Coeficiente constante (polinomial): -4A+3B = 0 \quad\Rightarrow\quad -4\cdot 3 +3B =0 \quad\Rightarrow\quad 3B=12 \quad\Rightarrow\quad B=4.
  • Coeficiente de e^{x}: -2C = 1 \quad\Rightarrow\quad C = -\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Escrever a solução particular e a solução geral.
Com A=3, B=4, C=-\tfrac{1}{2} obtemos a solução particular
y_{p}(x)=3x+4 -\tfrac{1}{2}x e^{x}.
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea (com constantes arbitrárias) e da particular:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x}+3x+4 -\tfrac{1}{2}x e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

(a) As soluções fundamentais da homogênea são e^{x} e e^{3x}.
(b) y_{p}(x)=3x+4-\tfrac{1}{2}x e^{x}
A solução geral é y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x}+3x+4-\tfrac{1}{2}x e^{x}.

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