Resolver os itens abaixo considerando a equação
.
(a) Encontrar as soluções fundamentais da equação homogênea associada;
(b) Usando o método dos coeficientes a determinar, encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea dada inicialmente e sua solução geral.
(a) Encontrar as soluções fundamentais da equação homogênea associada;
(b) Usando o método dos coeficientes a determinar, encontrar uma solução particular
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Enunciado: resolver a equação diferencial
-
Perguntas:
(a) Encontrar as soluções fundamentais da equação homogênea associada.
(b) Usando o método dos coeficientes a determinar, encontrar uma solução particularda equação não homogênea e escrever a solução geral. -
Informações relevantes dadas (que vamos usar):
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo (lado direito) é a soma de um polinômio de grau
(isto é, ) e de uma função exponencial . - Para o método dos coeficientes a determinar: para cada tipo de termo do lado direito escolhemos uma forma tentativa com coeficientes desconhecidos; se a forma tentativa coincidir com solução da homogênea, multiplicamos por
o número mínimo de vezes para eliminar a coincidência (resonância).
Passo 2
Resolver a homogênea: encontrar as soluções fundamentais.
A equação homogênea associada é
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtém-se a equação característica
Resolvendo a quadrática:
portanto as raízes são
e
, distintas. Para raízes reais e distintas, as soluções fundamentais são
Essas duas funções são linearmente independentes (raízes distintas garantem isso), então a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolher a forma tentativa
pelo método dos coeficientes a determinar.
Explicando a ideia (passo-a-passo e com calma):
- Para um termo polinomial de grau
(aqui , grau ), a tentativa padrão é um polinômio de grau , isto é , com desconhecidos. - Para um termo
(aqui , com ), a tentativa padrão é . Porém, se já é solução da homogênea (isto é, se é raiz da equação característica), então há ressonância: é preciso multiplicar a tentativa por , com igual à multiplicidade da raiz em excesso, para garantir independência. Aqui é raiz simples da característica (multiplicidade ), logo multiplicamos por uma vez: a tentativa para a parte exponencial será (usei em vez de para evitar confusão). - Como o lado direito é soma de duas funções, podemos somar as tentativas correspondentes. Assim tomamos como tentativa geral
com
desconhecidos a determinar.
Passo 4
Calcular
detalhadamente.
Começando por
.
- Derivada do polinômio
: - Para
usamos a regra do produto:
Somando as partes:
Passo 5
Substituir
na equação e agrupar termos por tipo.
A equação é
Substituindo
e suas derivadas:
Agora agrupamos separando a parte polinomial (em
) da parte que envolve
.
Primeiro, os termos sem fator
(vêm da parte polinomial):
- Da expressão acima, os termos polinomiais são:
Segundo, os termos com
(vêm da parte
):
- Coletando coeficientes de
:
Calcule o parêntese:
Portanto a contribuição exponencial é simplesmente
Assim o lado esquerdo fica
Passo 6
Equacionar coeficientes com o lado direito
e resolver para
.
Comparando
devemos igualar coeficientes dos termos independentes: do
, do termo constante (polinomial) e do
.
- Coeficiente de
: - Coeficiente constante (polinomial):
- Coeficiente de
:
Passo 7
Escrever a solução particular e a solução geral.
Com
,
,
obtemos a solução particular
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea (com constantes arbitrárias) e da particular:
onde
são constantes arbitrárias.
Resposta
(a) As soluções fundamentais da homogênea são
e
.
(b)
A solução geral é .
A solução geral é