Resolver os itens abaixo considerando a equação y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=x^{2}+1.
(a) Encontrar as soluções fundamentais da equação homogênea associada.
(b) Usando o método dos coeficientes a determinar, encontrar uma solução particular y_p para a equação não homogênea dada inicialmente e sua solução geral.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-4y'+4y = x^{2}+1.
O que ele pede:
  • (a) encontrar as soluções fundamentais da equação homogênea associada (ou seja, das soluções da equação quando o lado direito é zero);
  • (b) usando o método dos coeficientes a determinar, encontrar uma solução particular y_p da equação não homogênea dada e, em seguida, escrever a solução geral y.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A equação homogênea associada é
y''-4y'+4y=0.
  • O termo não homogêneo (lado direito) é o polinômio x^{2}+1.

Passo 2

Resolver a equação homogênea. Método: substituir uma solução do tipo y=e^{rx} e obter a equação característica para r.
Substituindo y=e^{rx} em y''-4y'+4y=0 obtém-se a equação característica
r^{2}-4r+4=0.
Resolver essa quadrática: reconhece-se que é um quadrado perfeito, pois
r^{2}-4r+4=(r-2)^{2}.
Logo a raiz é \;r=2\; com multiplicidade 2.
Para uma raiz real r de multiplicidade 2, as duas soluções fundamentais são
e^{rx}\quad\text{e}\quad x e^{rx}.
Substituindo r=2, as soluções fundamentais da homogênea são, portanto,
\boxed{e^{2x}\quad\text{e}\quad x e^{2x}.}

Passo 3

Explicando o método dos coeficientes a determinar (didaticamente): quando o termo não homogêneo é um polinômio (aqui x^{2}+1), tenta-se uma solução particular y_p também polinomial de grau igual ao grau do termo forçante, salvo se houver “ressonância” com soluções da homogênea. Ressonância ocorre se a forma proposta para y_p coincidir com alguma combinação da solução homogênea; nesse caso multiplica-se o palpite por potências de x suficientes até remover a sobreposição.
Aqui o lado direito é um polinômio de grau 2. As soluções homogêneas são exponenciais e^{2x} e x e^{2x}, que não são polinômios. Portanto não há ressonância e um palpite polinomial simples funciona. Assim proponho
y_p(x)=Ax^{2}+Bx+C,
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_p (passo a passo, para substituir na equação):
y_p'(x)=2Ax+B,
y_p''(x)=2A.
Agora aplicar o operador linear L[y]=y''-4y'+4y a y_p:
L[y_p]=y_p''-4y_p'+4y_p.

Passo 5

Substituir as expressões das derivadas:
L[y_p]=2A -4(2Ax+B) +4(Ax^{2}+Bx+C).
Desenvolvendo os termos:
L[y_p]=2A -8Ax -4B +4Ax^{2}+4Bx +4C.
Agrupando por potências de x:
L[y_p]=4A x^{2} +(-8A+4B)x + (2A-4B+4C).
Esse resultado deve ser igual ao lado direito x^{2}+1. Igualando coeficientes dos polinômios (coeficiente de x^{2}, coeficiente de x e termo constante) obtemos o sistema:
\begin{cases} 4A = 1,\\[4pt] -8A +4B = 0,\\[4pt] 2A -4B +4C = 1. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema para A,B,C.
Da primeira equação:
4A=1 \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{1}{4}.
Substituir A na segunda equação:
-8\cdot\dfrac{1}{4} +4B=0 \quad\Rightarrow\quad -2 +4B=0 \quad\Rightarrow\quad 4B=2 \quad\Rightarrow\quad B=\dfrac{1}{2}.
Substituir A e B na terceira equação:
2\cdot\dfrac{1}{4} -4\cdot\dfrac{1}{2} +4C = 1.
Calcular cada termo:
2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2},\qquad -4\cdot\dfrac{1}{2}=-2,
logo
\dfrac{1}{2} -2 +4C = 1 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{3}{2} +4C = 1.
Somar \tfrac{3}{2} aos dois lados:
4C = 1 + \tfrac{3}{2} = \tfrac{5}{2} \quad\Rightarrow\quad C = \dfrac{5}{8}.
Portanto
\boxed{A=\dfrac{1}{4},\quad B=\dfrac{1}{2},\quad C=\dfrac{5}{8}.}

Passo 7

Escrever a solução particular e a solução geral.
A solução particular encontrada é
y_p(x)=\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{8}.
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x} + \dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{8},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que serão fixadas por condições iniciais (se fornecidas).

Resposta

(a) As soluções fundamentais da homogênea são e^{2x} e x e^{2x}.
(b) y_{p}(x)=\dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{8}.
A solução geral é y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x} + \dfrac{1}{4}x^{2}+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{8}.

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