Considerando a equação
x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-6 y=0
faça o que se pede:
(a) (0,5) Mostre que
y_{1}(x)=x^{2}
é uma solução particular da equação em \mathbb{R}^{*}.
(b) (1,5) Usando o método da redução de ordem, encontre uma segunda solução particular yz para esta equação e indique o seu domínio.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''+2xy'-6y=0
e pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que \,y_{1}(x)=x^{2}\, é uma solução particular na \mathbb{R}^{*}.
  • (b) Usando o método da redução de ordem, encontrar uma segunda solução particular y_{2} e indicar seu domínio.
Informações relevantes que temos desde já:
  • A equação é válida apenas para x\neq0 (porque os coeficientes envolvem x e x^{2}); logo trabalharemos em \mathbb{R}^{*}=(-\infty,0)\cup(0,\infty).
  • Para aplicar o método da redução de ordem é conveniente escrever a equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0, o que exige dividir por x^{2} (válido em \mathbb{R}^{*}).

Passo 2

Verificação direta de que \,y_{1}(x)=x^{2}\, satisfaz a equação (parte (a)) — cálculo das derivadas:
y_{1}(x)=x^{2},\qquad y_{1}'(x)=2x,\qquad y_{1}''(x)=2.
Substituindo na equação dada:
x^{2}\cdot y_{1}'' + 2x\cdot y_{1}' -6 y_{1} = x^{2}\cdot 2 + 2x\cdot(2x) -6\cdot x^{2} =2x^{2}+4x^{2}-6x^{2}=0.
Portanto \,y_{1}(x)=x^{2}\, satisfaz a equação para todo x\neq0. Concluímos que \,y_{1} é solução em \mathbb{R}^{*}.

Passo 3

Preparação para a redução de ordem (parte (b)). Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por x^{2} (válido em \mathbb{R}^{*}):
y''+\frac{2}{x}y'-\frac{6}{x^{2}}y=0.
Aqui temos
P(x)=\frac{2}{x},\qquad Q(x)=-\frac{6}{x^{2}}.
O método da redução de ordem: sabendo uma solução y_{1}, procuramos uma segunda solução da forma
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x).
Vou ensinar a derivação do passo-chave (não pule): ao substituir y=v y_{1} e desenvolver as derivadas, usamos que y_{1} já satisfaz a equação, e acabamos reduzindo a uma equação de primeira ordem para v'. Há também uma forma direta e prática da solução: se y_{1} é conhecida, então
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx
é uma expressão válida (qualquer constante multiplicativa resulta numa solução equivalente). A seguir aplico essa fórmula passo a passo ao caso.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso. Temos P(x)=\dfrac{2}{x}. Calculo primeiro a integral \int P(x)\,dx:
\int P(x)\,dx=\int \frac{2}{x}\,dx=2\ln|x|.
Logo
e^{-\int P(x)\,dx}=e^{-2\ln|x|}=|x|^{-2}=\frac{1}{x^{2}}\qquad(x\neq0).
Agora posto y_{1}(x)=x^{2}. Então
\frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}=\frac{1/x^{2}}{(x^{2})^{2}}=\frac{1}{x^{2}\cdot x^{4}}=\frac{1}{x^{6}}=x^{-6}.

Passo 5

Integro a expressão encontrada:
\int x^{-6}\,dx=\int x^{-6}\,dx=\frac{x^{-5}}{-5}+C.
Portanto uma primitiva é -\dfrac{1}{5}x^{-5} (mais uma constante de integração, que corresponde à liberdade de adicionar múltiplos de y_{1} à nova solução).

Passo 6

Multiplico pela base y_{1}(x)=x^{2} para obter y_{2}:
y_{2}(x)=x^{2}\cdot\left(-\frac{1}{5}x^{-5}\right)=-\frac{1}{5}x^{-3}.
Como a constante multiplicativa não altera o espaço de soluções independentes, posso escolher a forma simplificada, sem o fator -\dfrac{1}{5}, e tomar
y_{2}(x)=x^{-3}.
Esta é a segunda solução particular, linearmente independente de y_{1} (verificação rápida: x^{2} e x^{-3} não são múltiplos constantes um do outro).

Passo 7

Comentário sobre domínio. Todas as manipulações (dividir por x^{2}, usar \ln|x|, etc.) exigem x\neq0. As soluções explicitamente obtidas x^{2} e x^{-3} estão bem definidas para todo x\in\mathbb{R}^{*}=(-\infty,0)\cup(0,\infty). A teoria de equações diferenciais com coeficientes singulares em 0 diz que as soluções são consideradas em cada intervalo conectado que não contém o ponto singular; portanto as soluções são válidas em (0,\infty) e em (-\infty,0). Em suma, o domínio natural de y_{2}(x)=x^{-3} é \mathbb{R}^{*} (ou, mais precisamente, cada uma das partes (0,\infty) e (-\infty,0)).

Resposta

(a) y_{1}(x)=x^{2} é solução em \mathbb{R}^{*}.
(b) y_{2}(x)=x^{-3}, com domínio \mathbb{R}^{*}=(-\infty,0)\cup(0,\infty).

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