Considerando a equação
faça o que se pede:
(a)
Mostre que
é uma solução particular da equação em
.
(b)
Usando o método da redução de ordem, encontre uma segunda solução particular yz para esta equação e indique o seu domínio.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas:
- (a) Mostrar que
é uma solução particular na . - (b) Usando o método da redução de ordem, encontrar uma segunda solução particular
e indicar seu domínio.
Informações relevantes que temos desde já:
- A equação é válida apenas para
(porque os coeficientes envolvem e ); logo trabalharemos em . - Para aplicar o método da redução de ordem é conveniente escrever a equação na forma padrão
, o que exige dividir por (válido em ).
Passo 2
Verificação direta de que
satisfaz a equação (parte (a)) — cálculo das derivadas:
Substituindo na equação dada:
Portanto
satisfaz a equação para todo
. Concluímos que
é solução em
.
Passo 3
Preparação para a redução de ordem (parte (b)). Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo por
(válido em
):
Aqui temos
O método da redução de ordem: sabendo uma solução
, procuramos uma segunda solução da forma
Vou ensinar a derivação do passo-chave (não pule): ao substituir
e desenvolver as derivadas, usamos que
já satisfaz a equação, e acabamos reduzindo a uma equação de primeira ordem para
. Há também uma forma direta e prática da solução: se
é conhecida, então
é uma expressão válida (qualquer constante multiplicativa resulta numa solução equivalente). A seguir aplico essa fórmula passo a passo ao caso.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso. Temos
. Calculo primeiro a integral
:
Logo
Agora posto
. Então
Passo 5
Integro a expressão encontrada:
Portanto uma primitiva é
(mais uma constante de integração, que corresponde à liberdade de adicionar múltiplos de
à nova solução).
Passo 6
Multiplico pela base
para obter
:
Como a constante multiplicativa não altera o espaço de soluções independentes, posso escolher a forma simplificada, sem o fator
, e tomar
Esta é a segunda solução particular, linearmente independente de
(verificação rápida:
e
não são múltiplos constantes um do outro).
Passo 7
Comentário sobre domínio. Todas as manipulações (dividir por
, usar
, etc.) exigem
. As soluções explicitamente obtidas
e
estão bem definidas para todo
. A teoria de equações diferenciais com coeficientes singulares em
diz que as soluções são consideradas em cada intervalo conectado que não contém o ponto singular; portanto as soluções são válidas em
e em
. Em suma, o domínio natural de
é
(ou, mais precisamente, cada uma das partes
e
).
Resposta
(a)
é solução em
.
(b)
, com domínio
.