Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. En caso que corresponda, escribir el conjunto solución como una combinación lineal de vectores y dar dos soluciones particulares. \left\{\begin{array}{l}x+2 y=3-2 z \\\\ 2 y+2 z-2=0 \\\ x+y+z=2\end{array}\right.
Determinar todas as soluções (x,y,z) que satisfazem essas três equações.
Escrever o conjunto solução como combinação linear de vetores (ou seja, na forma de solução particular mais parâmetro vezes um vetor de direção).
Dar duas soluções particulares explícitas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: as três equações acima, sem mais restrições (logo as incógnitas são números reais).]
Passo 2
Primeiro, vou reescrever as equações numa forma mais conveniente. Da segunda equação:
2y+2z-2=0
podemos simplificar dividindo por 2:
y+z=1.
Da primeira equação x+2y=3-2z passo todos os termos para o mesmo lado para facilitar substituições:
x+2y+2z=3.
A terceira já está em forma simples:
x+y+z=2.
Passo 3
Agora isolo uma variável a partir da equação mais simples. Da equação
y+z=1
isolamos y:
y=1-z.
Isto significa que y é expresso em função de z. Essa é uma técnica padrão: escolher uma equação simples para expressar uma variável e substituir nas outras.
Passo 4
Substituo y=1-z na terceira equação (x+y+z=2) para encontrar x:
x+(1-z)+z=2.
No lado esquerdo, (1-z)+z=1, então:
x+1=2.
Portanto
x=1.
Agora já temos x=1 e y=1-z. Substituo esses valores na primeira equação para verificar consistência:
x+2y+2z = 1 + 2(1-z) + 2z = 1 + 2 -2z +2z = 3.
Como obtemos 3=3, a primeira equação é satisfeita para qualquer valor de z. Conclusão: z é uma variável livre (parâmetro).
Passo 5
Introduzo um parâmetro para o valor livre z. Seja t\in\mathbb{R} e defina
z=t.
Então
x=1,\qquad y=1-t,\qquad z=t.
Escrevendo em forma de vetor coluna (ou tupla) e separando a parte constante da parte proporcional a t: