Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. En caso que corresponda, escribir el conjunto solución como una combinación lineal de vectores y dar dos soluciones particulares.
\left\{\begin{array}{l}x+2 y=3-2 z \\\\ 2 y+2 z-2=0 \\\ x+y+z=2\end{array}\right.

Passo 1

O sistema dado é
\begin{cases} x+2y=3-2z,\\[4pt] 2y+2z-2=0,\\[4pt] x+y+z=2. \end{cases}
As perguntas implícitas são:
  • Determinar todas as soluções (x,y,z) que satisfazem essas três equações.
  • Escrever o conjunto solução como combinação linear de vetores (ou seja, na forma de solução particular mais parâmetro vezes um vetor de direção).
  • Dar duas soluções particulares explícitas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: as três equações acima, sem mais restrições (logo as incógnitas são números reais).]

Passo 2

Primeiro, vou reescrever as equações numa forma mais conveniente. Da segunda equação:
2y+2z-2=0
podemos simplificar dividindo por 2:
y+z=1.
Da primeira equação x+2y=3-2z passo todos os termos para o mesmo lado para facilitar substituições:
x+2y+2z=3.
A terceira já está em forma simples:
x+y+z=2.

Passo 3

Agora isolo uma variável a partir da equação mais simples. Da equação
y+z=1
isolamos y:
y=1-z.
Isto significa que y é expresso em função de z. Essa é uma técnica padrão: escolher uma equação simples para expressar uma variável e substituir nas outras.

Passo 4

Substituo y=1-z na terceira equação (x+y+z=2) para encontrar x:
x+(1-z)+z=2.
No lado esquerdo, (1-z)+z=1, então:
x+1=2.
Portanto
x=1.
Agora já temos x=1 e y=1-z. Substituo esses valores na primeira equação para verificar consistência:
x+2y+2z = 1 + 2(1-z) + 2z = 1 + 2 -2z +2z = 3.
Como obtemos 3=3, a primeira equação é satisfeita para qualquer valor de z. Conclusão: z é uma variável livre (parâmetro).

Passo 5

Introduzo um parâmetro para o valor livre z. Seja t\in\mathbb{R} e defina
z=t.
Então
x=1,\qquad y=1-t,\qquad z=t.
Escrevendo em forma de vetor coluna (ou tupla) e separando a parte constante da parte proporcional a t:
(x,y,z) = (1,1,0) + t(0,-1,1),\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto significa que o conjunto de soluções é uma reta afim: uma solução particular (1,1,0) mais qualquer múltiplo escalar do vetor direção (0,-1,1).

Passo 6

Dou duas soluções particulares escolhendo valores concretos de t:
  • Para t=0: (x,y,z)=(1,1,0).
  • Para t=1: (x,y,z)=(1,0,1).
Verificação rápida: por exemplo, para (1,0,1),
x+2y = 1+2\cdot0 =1,\qquad 3-2z = 3-2\cdot1=1
satisfeita; e 2y+2z-2 = 0+2-2=0; e x+y+z=1+0+1=2. Está correto.

Resposta

\{(x,y,z)\mid (x,y,z)=(1,1,0)+t(0,-1,1),\\ t\in\mathbb{R}\}
(1,1,0) e (1,0,1)

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