Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. En caso que corresponda, escribir el conjunto solución como una combinación lineal de vectores y dar dos soluciones particulares.
Passo 1
Qué pide el problema y qué datos da:
- Se nos da el sistema de ecuaciones
- Preguntas implícitas: encontrar todas las soluciones
; si corresponde, escribir el conjunto solución como una combinación lineal de vectores y dar dos soluciones particulares. - Información relevante: la variable
no aparece en ninguna ecuación, lo que indica que habrá grados de libertad (varias soluciones). No hay más restricciones.]
Passo 2
Entender la segunda ecuación y despejar una variable. La segunda ecuación es
Despejamos
en función de
. Restando
en ambos lados obtenemos
Esto ya nos da una relación entre
y
.
Passo 3
Expresar
usando la primera ecuación y la relación anterior. La primera ecuación es
Sustituyendo
se tiene
Simplificamos los términos que contienen
:
Despejando
:
Passo 4
Introducir parámetros para las variables libres y escribir la solución general. Observaciones:
-
no aparece en las ecuaciones, por lo tanto es libre; lo llamamos parámetro : . -
también es libre (lo hemos usado para expresar y ); lo llamamos parámetro : .
Entonces expresamos todas las componentes en función dey :
Agrupando en forma vectorial:
Explicación didáctica breve: la solución se escribe como una solución particular
más combinaciones lineales de vectores que generan el espacio de soluciones homogéneas. Los vectores
y
son una base de la solución del sistema homogéneo asociado.]
Passo 5
Dar dos soluciones particulares (elecciones concretas de
):
- Tomando
obtenemos la solución particular
- Tomando
obtenemos otra solución particular
Verificación rápida (opcional pero instructiva): para
,
y
cumplen las ecuaciones, por tanto es solución.