Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. En caso que corresponda, escribir el conjunto solución como una combinación lineal de vectores y dar dos soluciones particulares.
\left\{\begin{array}{c}x_{1}+4 x_{3}-2 x_{4}=3 \\\ x_{3}+x_{4}=0\end{array}\right.

Passo 1

Qué pide el problema y qué datos da:
  • Se nos da el sistema de ecuaciones
\begin{cases} x_{1}+4x_{3}-2x_{4}=3,\\[4pt] x_{3}+x_{4}=0. \end{cases}
  • Preguntas implícitas: encontrar todas las soluciones (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{R}^{4}; si corresponde, escribir el conjunto solución como una combinación lineal de vectores y dar dos soluciones particulares.
  • Información relevante: la variable x_{2} no aparece en ninguna ecuación, lo que indica que habrá grados de libertad (varias soluciones). No hay más restricciones.]

Passo 2

Entender la segunda ecuación y despejar una variable. La segunda ecuación es
x_{3}+x_{4}=0.
Despejamos x_{3} en función de x_{4}. Restando x_{4} en ambos lados obtenemos
x_{3}=-x_{4}.
Esto ya nos da una relación entre x_{3} y x_{4}.

Passo 3

Expresar x_{1} usando la primera ecuación y la relación anterior. La primera ecuación es
x_{1}+4x_{3}-2x_{4}=3.
Sustituyendo x_{3}=-x_{4} se tiene
x_{1}+4(-x_{4})-2x_{4}=3.
Simplificamos los términos que contienen x_{4}:
x_{1}-4x_{4}-2x_{4}=3,
x_{1}-6x_{4}=3.
Despejando x_{1}:
x_{1}=3+6x_{4}.

Passo 4

Introducir parámetros para las variables libres y escribir la solución general. Observaciones:
  • x_{2} no aparece en las ecuaciones, por lo tanto es libre; lo llamamos parámetro s: x_{2}=s.
  • x_{4} también es libre (lo hemos usado para expresar x_{3} y x_{1}); lo llamamos parámetro t: x_{4}=t.
    Entonces expresamos todas las componentes en función de s y t:
\begin{aligned} x_{1}&=3+6t,\\[4pt] x_{2}&=s,\\[4pt] x_{3}&=-t,\\[4pt] x_{4}&=t. \end{aligned}
Agrupando en forma vectorial:
\begin{aligned} (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) &= (3,0,0,0) + s(0,1,0,0) + t(6,0,-1,1),\\[4pt] &\qquad s,t\in\mathbb{R}. \end{aligned}
Explicación didáctica breve: la solución se escribe como una solución particular (3,0,0,0) más combinaciones lineales de vectores que generan el espacio de soluciones homogéneas. Los vectores (0,1,0,0) y (6,0,-1,1) son una base de la solución del sistema homogéneo asociado.]

Passo 5

Dar dos soluciones particulares (elecciones concretas de s,t):
  • Tomando s=0,\\ t=0 obtenemos la solución particular
(3,0,0,0).
  • Tomando s=1,\\ t=1 obtenemos otra solución particular
(9,1,-1,1).
Verificación rápida (opcional pero instructiva): para (9,1,-1,1),
x_{3}+x_{4}=-1+1=0
y
x_{1}+4x_{3}-2x_{4}=9+4(-1)-2(1)=9-4-2=3,
cumplen las ecuaciones, por tanto es solución.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(3,0,0,0)+s(0,1,0,0)+t(6,0,-1,1),\qquad s,t\in\mathbb{R}
(3,0,0,0)
(9,1,-1,1)

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