Resolver os modelos em programação linear, usando o método Simplex.
Max. Receita
=10 × 1+12 × 2
Sujeito a:
{
x_{1}+x_{2} ≤ 100
2 x_{1}+3 x_{2} ≤ 270
x_{1} ≥ 0, x_{2} ≥ 0
}

Passo 1

O enunciado fornece um problema de programação linear com objetivo de maximizar a receita e as seguintes restrições. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
  • Função objetivo (receita) a maximizar:
\text{Maximizar } z = 10\,x_{1} + 12\,x_{2}.
  • Restrições:
\begin{cases} x_{1} + x_{2} \le 100,\\[4pt] 2\,x_{1} + 3\,x_{2} \le 270,\\[4pt] x_{1} \ge 0,\; x_{2} \ge 0. \end{cases}
  • O que o exercício pede: resolver o modelo usando o método Simplex, ou seja, encontrar os valores de \,x_{1} e \,x_{2} que maximizam z respeitando as restrições, e determinar o valor máximo de z.]

Passo 2

Transformar o problema para a forma padrão (equações com variáveis de folga) e montar a tabela inicial do Simplex.
  • Introduzimos variáveis de folga \,s_{1} e \,s_{2} (ambas \ge0) para transformar as desigualdades em igualdades:
\begin{aligned} x_{1} + x_{2} + s_{1} &= 100,\\[4pt] 2\,x_{1} + 3\,x_{2} + s_{2} &= 270. \end{aligned}
  • A equação da função objetivo, em forma canônica para o Simplex, é:
-10\,x_{1} -12\,x_{2} + z = 0.
  • Montando a tabela inicial (colunas: x_{1},x_{2},s_{1},s_{2}; linha direita é o RHS):
\begin{array}{c|cccc|c} & x_{1} & x_{2} & s_{1} & s_{2} & \text{RHS} \\\ \hline s_{1} & 1 & 1 & 1 & 0 & 100 \\\ s_{2} & 2 & 3 & 0 & 1 & 270 \\\ \hline z & -10 & -12 & 0 & 0 & 0 \end{array}
Aqui as variáveis básicas iniciais são \,s_{1}=100 e \,s_{2}=270, com x_{1}=x_{2}=0. Vou explicar o procedimento do Simplex enquanto aplico as operações.]

Passo 3

Escolher a variável que entra na base (critério de escolha) e a variável que sai (teste da razão mínima), e fazer o primeiro pivô.
  • Critério de entrada: para maximização, olhamos a linha de z. Coeficientes negativos indicam aumento possível de z se introduzirmos a variável correspondente. Na linha de z temos -10 em \,x_{1} e -12 em \,x_{2}. O mais negativo é -12, então a coluna de entrada é a de \,x_{2}. Ou seja, \,x_{2} entra na base.
  • Teste da razão mínima para escolher a linha pivô (consideramos apenas coeficientes positivos na coluna de entrada):
\begin{aligned} \text{linha }s_{1}:\\ & \dfrac{100}{1} = 100,\\[6pt] \text{linha }s_{2}:\\ & \dfrac{270}{3} = 90. \end{aligned}
A menor razão é 90, então a variável que sai da base é s_{2} (linha 2). O elemento pivô é 3 (interseção linha s_{2}, coluna x_{2}).
  • Normalizar a linha pivô (dividir a linha 2 por 3):
\text{nova linha }s_{2} = \frac{1}{3}\times(2,\;3,\;0,\;1\;|\;270) = \left(\tfrac{2}{3},\;1,\;0,\;\tfrac{1}{3}\;|\;90\right).
  • Eliminar a coluna x_{2} nas outras linhas:
\begin{aligned} \text{nova linha }s_{1} &= \text{linha }s_{1} - 1\times\text{nova linha }s_{2} \\\ &= (1,1,1,0|100) - \left(\tfrac{2}{3},1,0,\tfrac{1}{3}|90\right) \\\ &= \left(\tfrac{1}{3},\;0,\;1,\;-\tfrac{1}{3}\;|\;10\right). \end{aligned}
\begin{aligned} \text{nova linha }z &= \text{linha }z + 12\times\text{nova linha }s_{2} \\\ &= (-10,-12,0,0|0) + 12\left(\tfrac{2}{3},1,0,\tfrac{1}{3}|90\right) \\\ &= (-10+8,\; -12+12,\;0,\;0+4\;|\;0+1080) \\\ &= \left(-2,\;0,\;0,\;4\;|\;1080\right). \end{aligned}
  • A tabela após o primeiro pivô fica:
\begin{array}{c|cccc|c} & x_{1} & x_{2} & s_{1} & s_{2} & \text{RHS} \\\ \hline s_{1} & \tfrac{1}{3} & 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & 10 \\\ x_{2} & \tfrac{2}{3} & 1 & 0 & \tfrac{1}{3} & 90 \\\ \hline z & -2 & 0 & 0 & 4 & 1080 \end{array}
Agora as variáveis básicas são s_{1}=10 e x_{2}=90. A linha z ainda tem coeficiente negativo -2 na coluna de \,x_{1}, então não estamos no ótimo.]

Passo 4

Fazer o segundo pivô (entrada de \,x_{1}) e atualizar a tabela.
  • Como o coeficiente -2 em z é negativo, escolhemos \,x_{1} para entrar na base (é a coluna com custo reduzido negativo).
  • Teste da razão mínima na coluna x_{1} (consideramos só coeficientes positivos):
\begin{aligned} \text{linha }s_{1}:\\ & \dfrac{10}{\tfrac{1}{3}} = 10 \times 3 = 30,\\[6pt] \text{linha }x_{2}:\\ & \dfrac{90}{\tfrac{2}{3}} = 90 \times \tfrac{3}{2} = 135. \end{aligned}
Menor razão é 30, portanto a linha pivô é a linha de s_{1} (linha 1), com elemento pivô \tfrac{1}{3}.
  • Normalizar a linha pivô (dividir a nova linha s_{1} por \tfrac{1}{3} — equivalente a multiplicar por 3):
\text{nova linha }x_{1} = 3\times\left(\tfrac{1}{3},0,1,-\tfrac{1}{3}|10\right) = (1,0,3,-1|30).
Agora a variável básica correspondente a essa linha será \,x_{1} com valor 30.
  • Eliminar a coluna x_{1} nas demais linhas:
Para a linha do antigo x_{2}:
\begin{aligned} \text{nova linha }x_{2} &= \text{linha }x_{2} - \tfrac{2}{3}\times\text{nova linha }x_{1} \\\ &= \left(\tfrac{2}{3},1,0,\tfrac{1}{3}|90\right) - \tfrac{2}{3}(1,0,3,-1|30) \\\ &= \left(0,\;1,\;0 - 2,\;\tfrac{1}{3} + \tfrac{2}{3}\;|\;90 - 20\right) \\\ &= (0,1,-2,1|70). \end{aligned}
Para a linha z:
\begin{aligned} \text{nova linha }z &= \text{linha }z + 2\times\text{nova linha }x_{1} \\\ &= (-2,0,0,4|1080) + 2(1,0,3,-1|30) \\\ &= (0,0,6,2|1140). \end{aligned}
  • A tabela após o segundo pivô é:
\begin{array}{c|cccc|c} & x_{1} & x_{2} & s_{1} & s_{2} & \text{RHS} \\\ \hline x_{1} & 1 & 0 & 3 & -1 & 30 \\\ x_{2} & 0 & 1 & -2 & 1 & 70 \\\ \hline z & 0 & 0 & 6 & 2 & 1140 \end{array}]

Passo 5

Testar otimalidade e ler a solução final.
  • Critério de otimalidade: para maximização, quando todos os coeficientes da linha z nas colunas de variáveis de decisão ( x_{1},x_{2}) são \ge 0 e, neste caso, exatamente 0, o ponto atual é ótimo. Aqui a linha z tem coeficientes 0 para x_{1} e x_{2}, então alcançamos a otimalidade.
  • Leitura da solução básica viável da tabela final:
\begin{aligned} x_{1} &= 30,\\[4pt] x_{2} &= 70. \end{aligned}
As variáveis de folga ficam \,s_{1}=0 e \,s_{2}=0 (da tabela, ou porque as restrições foram saturadas).
  • Valor máximo da função objetivo:
z_{\max} = 10\cdot 30 + 12\cdot 70 = 300 + 840 = 1140.
Interpretação rápida e segurança: a solução diz que para maximizar a receita, produzir 30 unidades do produto 1 e 70 unidades do produto 2 utiliza completamente as duas restrições (as folgas são zero) e rende receita total de 1140. O procedimento do Simplex consiste em trocar variáveis básicas por não básicas (entradas e saídas na base) de forma que a função objetivo aumente a cada pivô até atingir um ponto em que não é mais possível aumentar.]

Resposta

x_{1}=30
x_{2}=70
z_{\max}=1140

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