Resolver o problema lut t=4 ux x, 00 u(x, 0)=f(x), ut(x, 0)=g(x) 0= 0
onde f(x)=lx, 0 <= x <= 20 40-x, 20 <= x <= 40 e g(x)=f(x)10.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação de onda dada por:
utt = 4 uxx, & 0 < x < 40, t > 0 u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = g(x), & 0 < x < 40 u(0, t) = 0, u(40, t) = 0, & t >= 0
Onde:
  • f(x) é uma função definida por partes: f(x) = x, & 0 <= x <= 20 40 - x, & 20 <= x <= 40
  • g(x) = f(x)10
Vamos resolver essa equação usando a separação de variáveis e série de Fourier, que são técnicas para resolver equações diferenciais parciais com condições de contorno e iniciais específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação e as condições. A equação é uma equação de onda unidimensional com velocidade de propagação c, onde c^2 = 4. Portanto, c = 2.
As condições de contorno são de Dirichlet homogêneas ( u=0 nas extremidades x=0 e x=40). As condições iniciais nos dizem a forma inicial da onda ( u(x,0) = f(x)) e sua velocidade inicial ( ut(x,0) = g(x)).

Passo 3

Vamos assumir uma solução da forma:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(n pi c tL) + Bn sin(n pi c tL) ] sin(n pi xL)
Onde:
  • L = 40 é o comprimento do domínio espacial.
  • An e Bn são os coeficientes a serem determinados pelas condições iniciais.
  • sin(n pi xL) satisfazem as condições de contorno u(0,t) = u(L,t) = 0.

Passo 4

Primeiro, vamos aplicar a condição inicial u(x,0) = f(x):
u(x, 0) = sumn=1^infty An sin(n pi xL) = f(x)
Isso nos mostra que os coeficientes An são os coeficientes da série de Fourier de f(x) na base de funções seno.

Passo 5

Em seguida, aplicamos a condição inicial para a derivada temporal: ut(x,0) = g(x).
Derivando u(x,t) em relação ao tempo t:
ut(x, t) = sumn=1^infty [ -An n pi cL sin(n pi c tL) + Bn n pi cL cos(n pi c tL) ] sin(n pi xL)
Avaliado em t=0:
ut(x, 0) = sumn=1^infty Bn n pi cL sin(n pi xL) = g(x) = f(x)10

Passo 6

Agora, temos que expressar f(x) e g(x) como séries de Fourier senoidal. Primeiro, calculamos os coeficientes An:
An = 2L integral0^L f(x) sin(n pi xL) dx
Substituindo L=40 e f(x) na integral:
An = 120 [ integral0^20 x sin(n pi x40) dx + integral20^40 (40 - x) sin(n pi x40) dx ]

Passo 7

Calculamos as integrais separadamente:
Para 0 <= x <= 20, f(x) = x:
integral0^20 x sin(n pi x40) dx
Para 20 <= x <= 40, f(x) = 40 - x:
integral20^40 (40 - x) sin(n pi x40) dx
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou usando tabelas de integrais.

Passo 8

Após calcular as integrais, obtemos os coeficientes An.
Analogamente, para os coeficientes Bn, usamos:
Bn = 2c n pi integral0^L g(x) sin(n pi xL) dx
Como g(x) = f(x)10, temos:
Bn = 22 n pi integral0^40 f(x)10 sin(n pi x40) dx = 110 n pi cdot An cdot 20
Simplificando:
Bn = An5 n pi

Passo 9

Finalmente, substituímos os coeficientes An e Bn na expressão da solução:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(n pi cdot 2 t40) + An5 n pi sin(n pi cdot 2 t40) ] sin(n pi x40)
Simplificando a expressão:
u(x, t) = sumn=1^infty An [ cos(n pi t20) + 15 n pi sin(n pi t20) ] sin(n pi x40)

Resposta

A solução da equação dada é:
u(x, t) = sumn=1^infty An [ cos(n pi t20) + 15 n pi sin(n pi t20) ] sin(n pi x40)
onde os coeficientes An são calculados pela série de Fourier da função f(x) definida no enunciado.

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