Como feito em aula, pelo método de variáveis separáveis, resolver
Passo 1
O enunciado pede para achar a solução de
O conteúdo é separação de variáveis e expansão em séries de Fourier com condições mistas de contorno. Para resolver, vamos precisar: assumir uma forma separável utt=a^2uxx,&0, achar autovalores e autofunções para u(x,t)=X(x)T(t), resolver a equação em X e depois aplicar as condições iniciais usando ortogonalidade das funções próprias.
Passo 2
Assumimos a forma separável
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo em utt=a^2uxx, dividindo por a^2XT e rearranjando, obtemos
T''(t)a^2T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
com separação em constante lambda. Assim geramos dois ODEs:
X''+lambda X=0,
T''+a^2lambda T=0
Passo 3
Para X(x) usamos as condições de contorno:
X(0)=0,
X'(L)=0
A solução geral de X''+lambda X=0 só satisfaz essas condições se