Como feito em aula, pelo método de variáveis separáveis, resolver
l ut t=a^2 ux x u(x, 0)=0, ut(x, 0)=g(x) 0

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução de
O conteúdo é separação de variáveis e expansão em séries de Fourier com condições mistas de contorno. Para resolver, vamos precisar: assumir uma forma separável utt=a^2uxx,&0, achar autovalores e autofunções para u(x,t)=X(x)T(t), resolver a equação em X e depois aplicar as condições iniciais usando ortogonalidade das funções próprias.

Passo 2

Assumimos a forma separável
u(x,t)=X(x),T(t)
Substituindo em utt=a^2uxx, dividindo por a^2XT e rearranjando, obtemos
T''(t)a^2T(t)=X''(x)X(x)=-lambda,
com separação em constante lambda. Assim geramos dois ODEs:
X''+lambda X=0,
T''+a^2lambda T=0

Passo 3

Para X(x) usamos as condições de contorno:
X(0)=0,
X'(L)=0
A solução geral de X''+lambda X=0 só satisfaz essas condições se
lambdan=l((2n-1)pi2Lr)^2,
Xn(x)=sinl(kn xr), kn=(2n-1)pi2L, n=1,2,3,dots

Passo 4

Para cada n, a equação de T(t) fica
Tn''+omegan^2Tn=0,
com
omegan=a kn=a(2n-1)pi2L
Logo
Tn(t)=Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)

Passo 5

Pela superposição, a solução geral é
u(x,t)=sumn=1^inftysin(kn x)l(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r)
Agora aplicamos as condições iniciais:

Passo 6

Para u(x,0)=0 temos
0=sumn=1^infty Ansin(kn x),
o que impõe An=0 para todo n.

Passo 7

Para ut(x,0)=g(x) calculamos
ut(x,t)=sumn=1^infty Bnomegancos(omegan t)sin(kn x)
e, em t=0,
g(x)=ut(x,0)=sumn=1^infty Bnomegansin(kn x)
Expandimos g(x) na base sin(kn x) usando ortogonalidade:
integral0^Lsin(kn x)sin(km x),dx=L2de
Logo os coeficientes são
gn=2Lintegral0^L g(x)sin(kn x),dx,
e como gn=Bnomegan temos
Bn=gnomegan

Passo 8

Substituindo em u(x,t), a solução final é
u(x,t)=sumn=1^infty gnomegan,sin(omegan t),sin(kn x),
com
kn=(2n-1)pi2L, omegan=a kn,
gn=2Lintegral0^L g(s)sin(kn s),ds

Resposta

boxedu(x,t)=sumn=1^inftyl(2Lintegral0^L g(s)sinl(tfrac(2n-1)pi2Lsr),dsr)1atfrac(2n-1)pi2L,sinl(atfrac(2n-1)pi2Ltr),sinl(tfrac(2n-1)pi2Lxr)

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