Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
2 y^{\prime}-t y=t )

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
2\,y'-t\,y=t.
Para resolver, vamos primeiro pôr no formato padrão
y'-\frac{t}{2}\,y=\frac{t}{2},
identificar o fator integrante e em seguida integrar.

Passo 2

O fator integrante \mu(t) satisfaz
\mu(t)=\exp\Bigl(\int -\frac{t}{2}\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(-\frac{t^2}{4}\Bigr).

Passo 3

Multiplicando a equação padronizada por \mu(t), obtemos
e^{-t^2/4}\,y' - \frac{t}{2}\,e^{-t^2/4}\,y =\frac{t}{2}\,e^{-t^2/4}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de \mu(t)\,y, ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t^2/4}\,y\bigr) =\frac{t}{2}\,e^{-t^2/4}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^{-t^2/4}\,y =\int \frac{t}{2}\,e^{-t^2/4}\,dt.
Fazendo u=-\tfrac{t^2}{4} e du=-\tfrac{t}{2}\,dt, a integral vira
\int \frac{t}{2}\,e^{-t^2/4}\,dt =-\int e^{u}\,du =-e^{u}+C =-e^{-t^2/4}+C.

Passo 5

Isolando y, dividimos por e^{-t^2/4}:
y=-1 + C\,e^{t^2/4}.

Resposta

A solução geral é
y(t)=C\,e^{t^2/4}-1,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados