Uma barra de seção transversal constante engastada em uma extremidade e livre na outra, solicitada por uma carga q constante distribuída ao longo do seu comprimento l, sofreu um alongamento \delta. Sendo o funcional que representa a energia potencial total para esse problema dado por:
\Pi=\int_{0}^{l} \frac{E A}{2}\left(u^{\prime}\right)^{2} d x-\int_{0}^{l} q u d x
onde u(x) é a função que representa os deslocamentos longitudinais da barra, E, o módulo de Young do material, e A, a área da seção transversal da barra, qual é a função u(x) ?

Passo 1

O enunciado pede para determinar a função u(x) dos deslocamentos longitudinais da barra. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O funcional da energia potencial total é
\Pi=\int_{0}^{l} \frac{E A}{2}\left(u^{\prime}\right)^{2} d x-\int_{0}^{l} q u d x.
  • A barra ocupa o intervalo 0\le x\le l.
  • u(x) é o deslocamento axial desconhecido.
  • E é o módulo de Young (constante) e A é a área da seção (constante).
  • q é uma carga axial distribuída constante ao longo do comprimento (constante).
  • A barra está engastada em x=0 (ou seja, deslocamento nulo em x=0) e livre em x=l.
  • O enunciado menciona um alongamento \delta total, que corresponde ao valor u(l).

Passo 2

Vou obter a equação que u(x) deve satisfazer aplicando a condição de estacionaridade do funcional \Pi. A ideia básica (sem jargões pesados) é: se \Pi[u] é mínima (ou estacionária) para a solução real, pequenas variações \delta u em u deixam \Pi inalterado ao primeiro ordem; isso leva à equação de Euler–Lagrange.
Escrevemos o integrando como função de u e u':
f(u,u')=\frac{E A}{2}(u')^{2}-q u.
A equação de Euler–Lagrange diz que uma condição necessária é
\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial u'}\right)-\frac{\partial f}{\partial u}=0.
Agora calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial u'}=E A\, u', \qquad \frac{\partial f}{\partial u}=-q.
Aplicando a fórmula:
\frac{d}{dx}(E A\, u') - (-q)=0.
Como E e A são constantes, isto dá a equação diferencial ordinária
E A\, u'' + q = 0.

Passo 3

Agora resolvo a equação diferencial ordinária obtida. A equação é de segunda ordem e simples porque q, E, A são constantes:
E A\, u'' + q = 0 \quad\Longrightarrow\quad u'' = -\frac{q}{E A}.
Integro uma vez em relação a x:
u'(x) = -\frac{q}{E A}\, x + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. Integro de novo:
u(x) = -\frac{q}{2 E A}\, x^{2} + C_1 x + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Essa é a forma geral da solução — agora precisamos das condições de contorno para determinar C_1 e C_2.

Passo 4

Precisamos identificar as condições de contorno físicas. Pelo enunciado:
  • Engastamento em x=0 significa deslocamento zero em x=0. Logo
u(0)=0.
  • Extremidade livre em x=l significa que não há força axial aplicada na extremidade; na formulação variacional isso aparece como condição natural, obtida ao fazer a variação: o termo de contorno é [E A\, u'\,\delta u]_{0}^{l}. Como a variação \delta u(0)=0 (engaste), em x=l a variação \delta u(l) é arbitrária, então devemos ter a condição natural
E A\, u'(l)=0 \quad\Longrightarrow\quad u'(l)=0.
Agora aplicamos essas condições à forma geral u(x) = -\dfrac{q}{2EA}x^{2}+C_1 x + C_2.
Usando u(0)=0 obtemos
0 = u(0) = -\frac{q}{2 E A}\cdot 0^{2} + C_1\cdot 0 + C_2 \quad\Longrightarrow\quad C_2=0.
Usando u'(l)=0 e a expressão u'(x) = -\dfrac{q}{E A}x + C_1, temos
0 = u'(l) = -\frac{q}{E A}\, l + C_1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = \frac{q\, l}{E A}.
Portanto as constantes ficam C_1=\dfrac{q l}{E A} e C_2=0.

Passo 5

A partir das constantes encontradas podemos montar a solução final (vou deixar a expressão final concentrada no campo de resposta abaixo, conforme você pediu). Antes disso, uma observação útil e motivadora: o alongamento total na ponta x=l é
u(l)=\delta=\frac{q\, l^{2}}{2 E A},
ou seja, a ponta alongou \dfrac{q l^{2}}{2EA}. Isso é bom para conferir respostas rápidas na prova — se alguém te pedir só o alongamento total, essa é a fórmula.

Resposta

u(x)=\frac{q}{E A}\!\left(l x-\frac{x^{2}}{2}\right)

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