Uma barra de seção transversal constante engastada em uma extremidade e livre na outra, solicitada por uma carga
constante distribuída ao longo do seu comprimento
, sofreu um alongamento
. Sendo o funcional que representa a energia potencial total para esse problema dado por:
onde
é a função que representa os deslocamentos longitudinais da barra,
, o módulo de Young do material, e
, a área da seção transversal da barra, qual é a função
?
Passo 1
O enunciado pede para determinar a função
dos deslocamentos longitudinais da barra. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O funcional da energia potencial total é
- A barra ocupa o intervalo
. -
é o deslocamento axial desconhecido. -
é o módulo de Young (constante) e é a área da seção (constante). -
é uma carga axial distribuída constante ao longo do comprimento (constante). - A barra está engastada em
(ou seja, deslocamento nulo em ) e livre em . - O enunciado menciona um alongamento
total, que corresponde ao valor .
Passo 2
Vou obter a equação que
deve satisfazer aplicando a condição de estacionaridade do funcional
. A ideia básica (sem jargões pesados) é: se
é mínima (ou estacionária) para a solução real, pequenas variações
em
deixam
inalterado ao primeiro ordem; isso leva à equação de Euler–Lagrange.
Escrevemos o integrando como função de
e
:
A equação de Euler–Lagrange diz que uma condição necessária é
Agora calculamos as derivadas parciais:
Aplicando a fórmula:
Como
e
são constantes, isto dá a equação diferencial ordinária
Passo 3
Agora resolvo a equação diferencial ordinária obtida. A equação é de segunda ordem e simples porque
,
,
são constantes:
Integro uma vez em relação a
:
onde
é uma constante de integração. Integro de novo:
onde
é outra constante de integração. Essa é a forma geral da solução — agora precisamos das condições de contorno para determinar
e
.
Passo 4
Precisamos identificar as condições de contorno físicas. Pelo enunciado:
- Engastamento em
significa deslocamento zero em . Logo
- Extremidade livre em
significa que não há força axial aplicada na extremidade; na formulação variacional isso aparece como condição natural, obtida ao fazer a variação: o termo de contorno é . Como a variação (engaste), em a variação é arbitrária, então devemos ter a condição natural
Agora aplicamos essas condições à forma geral
.
Usando
obtemos
Usando
e a expressão
, temos
Portanto as constantes ficam
e
.
Passo 5
A partir das constantes encontradas podemos montar a solução final (vou deixar a expressão final concentrada no campo de resposta abaixo, conforme você pediu). Antes disso, uma observação útil e motivadora: o alongamento total na ponta
é
ou seja, a ponta alongou
. Isso é bom para conferir respostas rápidas na prova — se alguém te pedir só o alongamento total, essa é a fórmula.