Para resolver esta questão, marque a opção correta. Sabendo que a Função de Transferência de um sistema é:
\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{15(s+1)}{s^{2}+9 s+14}.
Obtenha os polos deste sistema.
Escolha uma opção:
  • a. Os polos são complexos conjugados com parte real nula.
    ○ b. Os polos são complexos conjugados com parte real positiva.
    O c. Os polos são puramente reais e iguais.
    O d. Os polos são puramente reais e distintos.
    O e. Os polos são complexos conjugados com parte real negativa.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência do sistema e pede que identifiquemos os polos. Informações fornecidas:
  • Função de transferência: \displaystyle \frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{15(s+1)}{s^{2}+9s+14}.
O que o exercício pede:
  • Obter os polos do sistema e, a partir disso, escolher a alternativa correta entre:
    • a. Os polos são complexos conjugados com parte real nula.
    • b. Os polos são complexos conjugados com parte real positiva.
    • c. Os polos são puramente reais e iguais.
    • d. Os polos são puramente reais e distintos.
    • e. Os polos são complexos conjugados com parte real negativa.

Passo 2

Lembrete didático: o que são polos?
  • Os polos de uma função de transferência são os valores de s que anulam o denominador da função de transferência (ou seja, onde o denominador fica igual a zero). Esses valores determinam a dinâmica do sistema (estabilidade, resposta transitória etc.). Para encontrar os polos, basta resolver a equação do denominador igual a zero.

Passo 3

Escrever a equação do denominador igual a zero:
s^{2}+9s+14=0.

Passo 4

Tentar fatorar o polinômio quadrático de forma simples (método preferível quando os coeficientes são inteiros pequenos): procurar dois números cujo produto seja 14 e cuja soma seja 9. Esses números são 7 e 2. Portanto o polinômio fatora como:
s^{2}+9s+14=(s+7)(s+2).

Passo 5

Impor que cada fator seja zero para obter as raízes (os polos):
s+7=0 \quad\Rightarrow\quad s=-7,
s+2=0 \quad\Rightarrow\quad s=-2.
Logo os polos são \;s=-7\; e \;s=-2\;.

Passo 6

Classificação dos polos encontrada:
  • Ambos os polos são números reais (não têm parte imaginária).
  • São distintos entre si ( -7\neq -2).
  • Além disso, ambos têm parte real negativa (são negativos), mas como o enunciado pede a classificação entre as opções dadas, o mais adequado é destacar que são puramente reais e distintos.

Passo 7

Conclusão e justificativa curta: os polos obtidos são \;s=-7 e \;s=-2, que são valores reais diferentes; portanto a opção correta é a que afirma “polos puramente reais e distintos”.

Resposta

d. Os polos são puramente reais e distintos.

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